Questão 3. (% pontos) Encontre o raio e o intervalo de convergência da série \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}(x-2)^{n}}{3^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}(x-2)^{n}}{3^{n}}.
O centro da série é x_{0}=2. Para encontrar o raio de convergência vamos usar o Teste da Razão de Cauchy.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral como
a_{n} = \frac{2^{n}}{3^{n}}\,(x-2)^{n} = \Bigl(\frac{2}{3}(x-2)\Bigr)^{n}.
No Teste da Razão calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{2}{3}(x-2)\Bigr| = \Bigl|\frac{2}{3}(x-2)\Bigr|.

Passo 3

Para convergência precisamos de L<1. Logo
\Bigl|\tfrac{2}{3}(x-2)\Bigr|<1 \quad\Longrightarrow\quad |x-2|<\frac{3}{2}.
Dessa desigualdade vemos que o raio de convergência é
R = \frac{3}{2}.

Passo 4

O intervalo de convergência “aberto” em torno de x_{0}=2 é
2 - \frac{3}{2} < x < 2 + \frac{3}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2} < x < \frac{7}{2}.

Passo 5

Agora testamos os extremos:
  1. Em x = \tfrac{1}{2} temos x-2 = -\tfrac{3}{2}, de modo que o termo geral vira
    \bigl(\tfrac{2}{3}\cdot(-\tfrac{3}{2})\bigr)^{n}=(-1)^{n}.
    A série \sum(-1)^{n} não converge (os termos não tendem a zero).
  2. Em x = \tfrac{7}{2} temos x-2 = \tfrac{3}{2}, de modo que o termo geral vira
    \bigl(\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{3}{2}\bigr)^{n}=1^{n}=1.
    A série \sum1 diverge também.

Resposta

O raio de convergência é R=\tfrac{3}{2} e o intervalo de convergência é
\bigl(\tfrac{1}{2},\,\tfrac{7}{2}\bigr).

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