Questão 2. (5 pontos) Ache uma aproximação para a soma da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2 n-1)!}, com precisão de três casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}
com precisão de três casas decimais. O conteúdo envolve séries de Taylor (Maclaurin) e estimativa de resto para garantir o erro abaixo de 10^{-3}.

Passo 2

Reconhecemos que a série de Maclaurin de \sin x é
\sin x = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\,x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Tomando x=1, obtemos
\sin(1)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}.
Logo, nossa soma é \sin(1).

Passo 3

Para garantir precisão de três casas decimais, usamos o resto de Lagrange em \sin x. Se cortamos a série em N termos, o módulo do erro satisfa z
|R_N(1)|\le\frac{1}{(2N+1)!}.
Queremos \frac{1}{(2N+1)!}<10^{-3}.

Passo 4

Testando valores de N:
  • Para N=2: 1/(5!)=1/120\approx8,3\times10^{-3}>10^{-3}.
  • Para N=3: 1/(7!)=1/5040\approx1,98\times10^{-4}<10^{-3}.
Portanto, basta tomar os três primeiros termos k=0,1,2.

Passo 5

Calculando a soma parcial de três termos:
S_3 = \sum_{k=0}^{2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!} = \frac{1}{1!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!} =1 - \frac{1}{6} + \frac{1}{120} \approx1 - 0,1666667 + 0,0083333 =0,8416666\ldots

Passo 6

Como o erro é menor que 0,0002, os três primeiros algarismos após a vírgula de \sin(1) já estão corretos. Arredondando a soma real a três casas decimais:
\sin(1)\approx0,841.

Resposta

0,841

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