Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga P e Q.
P(1,-1,2), Q(4,1,7)
boldsymbolR cdot r(t)=lang<=1+3 t, - 1+2 t, 2+5 trang<= x=1+3 t, y=-1+2 t, z=2+5 t

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial e as equações paramétricas do segmento de reta que liga os pontos
P(1,-1,2) e Q(4,1,7).
O conteúdo envolvido é representação paramétrica de reta no espaço, em que usamos um ponto inicial e um vetor direção para escrever a curva em função de um parâmetro t.

Passo 2

Para obter o vetor direção d da reta, subtraímos as coordenadas de P de Q:
d = Q - P = llang<= 4-1,;1-(-1),;7-2rrang<= = lang<= 3,,2,,5rang<=

Passo 3

A equação vetorial da reta, tomando P como ponto inicial e d como direção, é
r(t) = lang<= 1,-1,2rang<= ;+; t,lang<= 3,2,5rang<=, 0 <= t <= 1
Aqui o intervalo 0<= t<=1 garante que a curva vá de P (quando t=0) até Q (quando t=1).

Passo 4

Das componentes da equação vetorial extraímos as equações paramétricas:
x = 1 + 3t, y = -1 + 2t, z = 2 + 5t, 0 <= t <= 1

Resposta

Equação vetorial:
r(t)=lang<= 1,-1,2rang<= + t,lang<= 3,2,5rang<=, 0<= t<=1
Equações paramétricas:
x=1+3t, y=-1+2t, z=2+5t, 0<= t<=1

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