Questão 3
Seja r>0. A curva gamma(t)=(r cos (t), r sen(t)), para t in[0,2 pi], descreve uma circunferência de raio r e centro (0,0). Calcule o comprimento da circunferência de raio r utilizando a fórmula do comprimento de curva.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
gamma(t) = l(rcos(t),,rsin(t)r), tin[0,2pi],
que descreve uma circunferência de raio r. O conteúdo aqui é comprimento de curva em coordenadas paramétricas. Para resolver, vamos usar a fórmula do comprimento de curva
L = integrala^b llVert gamma'(t)rrVert ,dt,
onde lVertcdotrVert é a norma euclidiana.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de gamma:
gamma'(t) = l(-rsin(t),,rcos(t)r)
Em seguida, a norma é
llVert gamma'(t)rrVert = raizl(-rsin(t)r)^2 + l(rcos(t)r)^2 = raizr^2l(sin^2(t)+cos^2(t)r) = r

Passo 3

Substituindo na integral do comprimento, obtemos
L = integral0^2pi llVert gamma'(t)rrVert ,dt = integral0^2pi r ,dt = r l[tr]0^2pi = 2pi r

Resposta

L = 2pi r

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