Questão 3
Seja . A curva , para , descreve uma circunferência de raio e centro . Calcule o comprimento da circunferência de raio utilizando a fórmula do comprimento de curva.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica
que descreve uma circunferência de raio . O conteúdo aqui é comprimento de curva em coordenadas paramétricas. Para resolver, vamos usar a fórmula do comprimento de curva
onde lVertcdotrVert é a norma euclidiana.
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada de gamma:
gamma'(t) = l(-rsin(t),,rcos(t)r)
Em seguida, a norma é
llVert gamma'(t)rrVert = raizl(-rsin(t)r)^2 + l(rcos(t)r)^2 = raizr^2l(sin^2(t)+cos^2(t)r) = r
Passo 3
Substituindo na integral do comprimento, obtemos
L = integral0^2pi llVert gamma'(t)rrVert ,dt = integral0^2pi r ,dt = r l[tr]0^2pi = 2pi r