Questão 4
Seja
e seja
a circunferência de centro
e raio 1 dada por
.
(a) Em um mesmo gráfico, desenhe as curvas de nível de
em relação aos níveis
e 2 .
(b) Determine os pontos de
nos quais
atinge seu valor máximo e seu valor mínimo em
.
Seja
(a) Em um mesmo gráfico, desenhe as curvas de nível de
(b) Determine os pontos de
Passo 1
O enunciado define a função
e a circunferência
Pede (a) esboçar as curvas de nível de
para os níveis
e (b) encontrar em
os pontos onde
atinge seu máximo e seu mínimo. O conteúdo envolve curvas de nível de funções de duas variáveis e otimização restrita a uma curva (usando multiplicadores de Lagrange ou argumento geométrico).
Passo 2
Para cada nível
, a equação da curva de nível é
Dividindo ambos os lados por
vem
Logo:
Passo 3
No plano desenhamos:
– a circunferência (raio 1, centro na origem);
– a reta (nível
), a reta
(nível
) e a reta
(nível
), todas de coeficiente angular
e interceptos nos eixos compatíveis com essas equações.
– a circunferência
– a reta
Passo 4
Para otimizar
em
, usamos multiplicadores de Lagrange. Definimos
e impomos
Como
temos
que implica
. Impor
dá
Passo 5
Avaliando
nesses candidatos:
Portanto o mínimo de
em
é
em
e o máximo é
em
.
Resposta
(a) As curvas de nível para
são as retas
desenhadas junto com a circunferência
.\n
(b) O valor máximo de em
ocorre em
e o valor mínimo em
.
(b) O valor máximo de