Questão 4
Seja f(x, y)=-2 x-2 y e seja A a circunferência de centro (0,0) e raio 1 dada por x^2+y^2=1.
(a) Em um mesmo gráfico, desenhe as curvas de nível de f em relação aos níveis -2,0 e 2 .
(b) Determine os pontos de A nos quais f atinge seu valor máximo e seu valor mínimo em A.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=-2x-2y
e a circunferência
A=(x,y)mid x^2+y^2=1
Pede (a) esboçar as curvas de nível de f para os níveis -2,0,2 e (b) encontrar em A os pontos onde f atinge seu máximo e seu mínimo. O conteúdo envolve curvas de nível de funções de duas variáveis e otimização restrita a uma curva (usando multiplicadores de Lagrange ou argumento geométrico).

Passo 2

Para cada nível k, a equação da curva de nível é
-2x-2y = k
Dividindo ambos os lados por -2 vem
x+y = -k2
Logo:
k=-2&implies x+y=1, k=0&implies x+y=0, k=2&implies x+y=-1

Passo 3

No plano desenhamos:
– a circunferência x^2+y^2=1 (raio 1, centro na origem);
– a reta x+y=1 (nível -2), a reta x+y=0 (nível 0) e a reta x+y=-1 (nível 2), todas de coeficiente angular -1 e interceptos nos eixos compatíveis com essas equações.

Passo 4

Para otimizar f em A, usamos multiplicadores de Lagrange. Definimos
g(x,y)=x^2+y^2-1,
e impomos
nabla f = lambda,nabla g
Como
nabla f = (-2,-2), nabla g = (2x,2y),
temos
-2 = lambda,2x, -2 = lambda,2y
que implica x=y. Impor x^2+y^2=1
x=y=pm1raiz2

Passo 5

Avaliando f nesses candidatos:
fl(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) =-2raiz2, fl(-tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r) =2raiz2
Portanto o mínimo de f em A é -2raiz2 em l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) e o máximo é 2raiz2 em l(-tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r).

Resposta

(a) As curvas de nível para f=-2,0,2 são as retas
x+y=1, x+y=0, x+y=-1,
desenhadas junto com a circunferência x^2+y^2=1.\n
(b) O valor máximo de f em A ocorre em l(-tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r) e o valor mínimo em l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r).

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