Escreva a equação em coordenadas esféricas.
(b)
Utilize coordenadas esféricas.
Calcule
, onde
é o hemisfério sólido
.
(b)
Utilize coordenadas esféricas.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) escrever a equação do plano
em coordenadas esféricas, e (ii) calcular
onde
é o hemisfério sólido dado por
,
.
Para isso vamos usar as definições de coordenadas esféricas:
Para isso vamos usar as definições de coordenadas esféricas:
com
,
e
.
Passo 2
Substituindo na equação do plano:
Fatorando
:
Passo 3
Agora montamos o integral em esféricas. Como
é o hemisfério de raio
acima do plano
, temos
O integrando é
e o elemento de volume é
.
Logo
Logo
Passo 4
Façamos primeiro a integral em
. Note que
Então
Assim a integral em
é
Logo
Passo 5
A integral em
dá
, então
Sabendo que
e
, obtemos
Resposta
Equação do plano em esféricas:
Valor do integral: