Escreva a equação em coordenadas esféricas.
(b) x+2 y+3 z=1
Utilize coordenadas esféricas.
Calcule integral triplaH(9-x^2-y^2) d V, onde H é o hemisfério sólido x^2+y^2+z^2 <= 9, z >= 0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) escrever a equação do plano
x + 2y + 3z = 1
em coordenadas esféricas, e (ii) calcular
integral triplaH l(9 - x^2 - y^2r),dV
onde H é o hemisfério sólido dado por x^2+y^2+z^2<=9, z>=0.
Para isso vamos usar as definições de coordenadas esféricas:
x = rho,sinvarphicostheta, y = rho,sinvarphisintheta, z = rho,cosvarphi,
com rho>=0, 0<=varphi<=pi e 0<=theta<=2pi.

Passo 2

Substituindo na equação do plano:
rho,sinvarphicostheta +2,rho,sinvarphisintheta +3,rho,cosvarphi =1
Fatorando rho:
rhol(sinvarphi(costheta+2sintheta)+3cosvarphir)=1 Longrightarrow rho = 1sinvarphi(costheta+2sintheta)+3cosvarphi

Passo 3

Agora montamos o integral em esféricas. Como H é o hemisfério de raio 3 acima do plano z=0, temos
0<= rho<=3, 0<= varphi<=pi2, 0<= theta<=2pi
O integrando é
9 - x^2 - y^2 =9 - (rhosinvarphi)^2 =9 - rho^2sin^2varphi,
e o elemento de volume é dV = rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta.
Logo
I = integral triplaH(9 - x^2-y^2),dV =integral0^2pi!integral0^pi/2!integral0^3 l(9 - rho^2sin^2varphir),rho^2sinvarphi ,drho,dvarphi,dtheta

Passo 4

Façamos primeiro a integral em rho. Note que
l(9 - rho^2sin^2varphir)rho^2sinvarphi =9rho^2sinvarphi ;-;rho^4sin^3varphi
Então
integral0^39rho^2sinvarphi,drho =9sinvarphi;l[tfracrho^33r]0^3 =9sinvarphicdot9 =81sinvarphi,
integral0^3rho^4sin^3varphi,drho =sin^3varphi;l[tfracrho^55r]0^3 =sin^3varphicdot2435 =2435,sin^3varphi
Assim a integral em rho é
81sinvarphi ;-;2435,sin^3varphi
Logo
I = integral0^2pi!dtheta integral0^pi/2 l(81sinvarphi - tfrac2435sin^3varphir) ,dvarphi

Passo 5

A integral em theta 2pi, então
I = 2pi l[ 81!integral0^pi/2!sinvarphi,dvarphi ;-;tfrac2435!integral0^pi/2!sin^3varphi,dvarphi r]
Sabendo que integral0^pi/2sinvarphi,dvarphi=1 e
integral0^pi/2sin^3varphi,dvarphi=tfrac23, obtemos
I = 2pil[81cdot1 ;-;tfrac2435cdottfrac23r] =2pil[81 - tfrac1625r] =2picdottfrac2435 =486pi5

Resposta

Equação do plano em esféricas:
rho = 1sinvarphi(costheta+2sintheta)+3cosvarphi
Valor do integral:
integral triplaH(9 - x^2-y^2),dV = 486pi5

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