Obtenha v tal que v times j=k e |v|=raiz5.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar um vetor v tal que o produto vetorial de v com o vetor unitário j resulte no vetor unitário k. Além disso, a magnitude de v deve ser raiz5. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, especificamente sobre produto vetorial e magnitude de vetores.

Passo 2

Vamos considerar um vetor geral no espaço tridimensional. Podemos escrever v como:
v = ai + bj + ck
onde a, b e c são componentes reais que precisamos determinar, e i, j, k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Sabemos que o produto vetorial v times j deve ser igual a k. Vamos calcular esse produto:
v times j = i & j & k a & b & c 0 & 1 & 0
Calculando o determinante, obtemos:
v times j = (c cdot 0 - b cdot 0)i - (a cdot 0 - c cdot 0)j + (a cdot 1 - b cdot 0)k = ak
Portanto, temos que ak = k, o que implica que a = 1.

Passo 4

Agora que sabemos que a = 1, nosso vetor v fica:
v = i + bj + ck
Precisamos ainda determinar os valores de b e c de forma que a magnitude de v seja raiz5. A magnitude de um vetor v = ai + bj + ck é dada por:
|v| = raiza^2 + b^2 + c^2
Substituindo os valores que temos:
raiz1^2 + b^2 + c^2 = raiz5

Passo 5

Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
1 + b^2 + c^2 = 5
Subtraindo 1 de ambos os lados:
b^2 + c^2 = 4
Essa equação representa uma circunferência no plano bc, indicando que há infinitas soluções para b e c que satisfazem a condição.

Passo 6

Para simplificar, podemos escolher um valor para c e resolver para b. Por exemplo, se escolhermos c = 0, então:
b^2 = 4 implies b = pm 2
Portanto, temos duas soluções possíveis para v:
v = i + 2j ou v = i - 2j

Resposta

Um vetor que satisfaz as condições é v = i + 2j, com magnitude raiz5.

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