Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar um vetor tal que o produto vetorial de com o vetor unitário resulte no vetor unitário . Além disso, a magnitude de deve ser . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, especificamente sobre produto vetorial e magnitude de vetores.
Passo 2
Vamos considerar um vetor geral no espaço tridimensional. Podemos escrever como:
onde , e são componentes reais que precisamos determinar, e , , são os vetores unitários nas direções , e , respectivamente.
Passo 3
Sabemos que o produto vetorial deve ser igual a . Vamos calcular esse produto:
Calculando o determinante, obtemos:
v times j = (c cdot 0 - b cdot 0)i - (a cdot 0 - c cdot 0)j + (a cdot 1 - b cdot 0)k = ak
Portanto, temos que ak = k, o que implica que a = 1.
Passo 4
Agora que sabemos que a = 1, nosso vetor v fica:
v = i + bj + ck
Precisamos ainda determinar os valores de b e c de forma que a magnitude de v seja raiz5. A magnitude de um vetor v = ai + bj + ck é dada por:
|v| = raiza^2 + b^2 + c^2
Substituindo os valores que temos:
raiz1^2 + b^2 + c^2 = raiz5
Passo 5
Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
1 + b^2 + c^2 = 5
Subtraindo 1 de ambos os lados:
b^2 + c^2 = 4
Essa equação representa uma circunferência no plano bc, indicando que há infinitas soluções para b e c que satisfazem a condição.
Passo 6
Para simplificar, podemos escolher um valor para c e resolver para b. Por exemplo, se escolhermos c = 0, então:
b^2 = 4 implies b = pm 2
Portanto, temos duas soluções possíveis para v:
v = i + 2j ou v = i - 2j
Resposta
Um vetor que satisfaz as condições é v = i + 2j, com magnitude raiz5.