Encontre uma equação vetorial para a reta dada pela equação planar abaixo
r:\left\{\begin{array}{l}x+2 y+3 z-1=0 \\\ x-y+2 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a reta r que é a interseção de dois planos em \mathbb{R}^3, definidos por
\begin{cases} x+2y+3z-1=0,\\\ x-y+2z=0. \end{cases}
O conteúdo envolvido é encontrar uma equação vetorial de reta a partir da interseção de planos. Para isso precisamos de (1) um vetor diretor obtido pelo produto vetorial dos normais dos planos e (2) um ponto que satisfaça simultaneamente as duas equações.

Passo 2

Identificamos os vetores normais dos planos:
\mathbf{n}_1 = (1,2,3) e \mathbf{n}_2 = (1,-1,2).
O vetor diretor \mathbf{d} da reta é
\mathbf{d} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 2 & 3\\\\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = (\,2\cdot2-3\cdot(-1),\;-(1\cdot2-3\cdot1),\;1\cdot(-1)-2\cdot1) =(7,1,-3).

Passo 3

Para encontrar um ponto \mathbf{P_0}=(x_0,y_0,z_0) na reta, escolhemos um valor simples para uma variável e resolvemos o sistema. Tomando z=1, as equações viram
x+2y+3\cdot1=1\implies x+2y=-2,
x-y+2\cdot1=0\implies x-y=-2.
Subtraindo as duas, obtemos
(x+2y)-(x-y)=(-2)-(-2)\implies 3y=0\implies y=0,
e então x-y=-2 x=-2. Logo um ponto na reta é
\mathbf{P_0}=(-2,0,1).

Passo 4

A equação vetorial da reta r passando por \mathbf{P_0} e com vetor diretor \mathbf{d} é
\mathbf{r}(t)=\mathbf{P_0}+t\,\mathbf{d} =(-2,0,1)+t\,(7,1,-3),\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

\mathbf{r}(t)=(-2,0,1)+t\,(7,1,-3),\quad t\in\mathbb{R}.

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