Verifique se os planos se intersectam e em caso afirmativo encontre a equação da reta que corresponde à interseção.
\pi_{1}:(x, y, z)=(1,0,0)+\alpha(-1,1,0)+\beta(1,0,1)
\pi_{2}:(x, y, z)=(1,-1,-1)+\alpha(1,0,1)+\beta(0,1,1)

Passo 1

O enunciado dá dois planos em forma paramétrica
\pi_{1}:(x,y,z)=(1,0,0)+\alpha\,(-1,1,0)+\beta\,(1,0,1)
\pi_{2}:(x,y,z)=(1,-1,-1)+\alpha\,(1,0,1)+\beta\,(0,1,1)
e pede para verificar se eles têm interseção e, em caso afirmativo, encontrar a reta de interseção. O conteúdo aqui é interseção de planos em \mathbb R^3, que pode ser um ponto, uma reta, o próprio plano (se coincidem) ou vazio (se paralelos distintos). Para decidir isso vamos (1) calcular os vetores normais via produto vetorial, (2) checar se são paralelos, e se forem, (3) verificar se definem o mesmo plano.

Passo 2

Para \pi_{1} tomamos os vetores de direção
\mathbf v_{1}=(-1,1,0),\quad \mathbf v_{2}=(1,0,1)
e calculamos o normal \mathbf n_{1}=\mathbf v_{1}\times\mathbf v_{2}:
\mathbf n_{1} =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ -1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} =\mathbf i(1\cdot1-0\cdot0)-\mathbf j(-1\cdot1-0\cdot1)+\mathbf k(-1\cdot0-1\cdot1) =(1,1,-1).

Passo 3

Para \pi_{2} tomamos
\mathbf u_{1}=(1,0,1),\quad \mathbf u_{2}=(0,1,1)
e calculamos \mathbf n_{2}=\mathbf u_{1}\times\mathbf u_{2}:
\mathbf n_{2} =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} =\mathbf i(0\cdot1-1\cdot1)-\mathbf j(1\cdot1-1\cdot0)+\mathbf k(1\cdot1-0\cdot0) =(-1,-1,1).
Como \mathbf n_{2}=-\mathbf n_{1}, as normais são colineares, logo os planos são paralelos (ou coincidentes).

Passo 4

Obtemos a forma implícita de \pi_{1} usando \mathbf n_{1}=(1,1,-1) e o ponto (1,0,0):
x+y-z=1.
Para \pi_{2}, com \mathbf n_{2}=(-1,-1,1) e (1,-1,-1), temos
-\,x -y +z=-1 \quad\Longrightarrow\quad x+y-z=1.
É a mesma equação, logo os planos coincidem e têm interseção infinita: é todo o plano.

Resposta

Os planos coincidem e sua interseção é o próprio plano, cuja equação paramétrica é
(x,y,z) = (1,0,0) + \alpha\,(-1,1,0) + \beta\,(1,0,1).

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