Verifique se os planos se intersectam e em caso afirmativo encontre a equação da reta que corresponde à interseção.
\pi_{1}: z-1=0 \pi_{2}: y-2 x+2=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os planos
\pi_{1}: z-1=0
e
\pi_{2}: y-2x+2=0
se intersectam e, em caso afirmativo, encontrar a reta de interseção. O conteúdo é geometria analítica no espaço, em particular interseção de dois planos.

Passo 2

Para saber se dois planos se intersectam numa reta, comparamos seus vetores normais.
O vetor normal de \pi_{1} é
\mathbf{n}_{1} = (0,0,1),
e o vetor normal de \pi_{2} é
\mathbf{n}_{2} = (-2,1,0).
Esses vetores não são múltiplos um do outro, logo os planos não são paralelos e portanto se intersectam numa reta.

Passo 3

A reta de interseção é o conjunto de pontos que satisfazem simultaneamente
z-1=0 \quad\text{e}\quad y-2x+2=0.
Da primeira equação vem
z=1.
Da segunda vem
y=2x-2.

Passo 4

Para obter uma parametrização, seja x=t. Então
y=2t-2, \quad z=1.
Assim um ponto genérico da reta é
(x,y,z) = (t,\;2t-2,\;1).

Passo 5

Escrevendo em forma vetorial, escolhemos o ponto quando t=0, que é (0,-2,1), e o vetor diretor dado por (1,2,0). Logo
\mathbf{r}(t) = (0,-2,1) + t\,(1,2,0).

Resposta

\text{A interseção existe e é a reta } \mathbf{r}(t) = (0,-2,1) + t\,(1,2,0).çãé

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