Encontre a equação vetorial da reta que passa pelos pontos A=(2,-1,3) e B= (5, 1, -2).

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial da reta em \mathbb{R}^3 que passa pelos pontos A=(2,-1,3) e B=(5,1,-2). Para isso, vamos usar o fato de que uma reta pode ser escrita como
\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\,\mathbf{v},
onde \mathbf{r}_0 é um ponto conhecido da reta e \mathbf{v} é um vetor diretor, típico dado pela diferença entre dois pontos da reta.

Passo 2

Vamos encontrar o vetor diretor \mathbf{v} subtraindo as coordenadas de A das de B:
\mathbf{v} = \overrightarrow{AB} = B - A = (5,-\,;1,\,-2)-(2,-\,;1,\,3) = (5-2,\;1-(-1),\;-2-3) = (3,\;2,\;-5).

Passo 3

Agora escolhemos como ponto-base \mathbf{r}_0 o ponto A=(2,-1,3). Assim, a equação vetorial fica
\mathbf{r}(t) = (2,\,-1,\,3) + t\,(3,\,2,\,-5),
onde t\in\mathbb{R} percorre toda a reta. Em forma paramétrica, temos
\begin{cases} x = 2 + 3t,\\\ y = -1 + 2t,\\\ z = 3 - 5t. \end{cases}

Resposta

\mathbf{r}(t) = (2,-1,3) + t\,(3,2,-5),\quad t\in\mathbb{R}.

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