Encontre as equações para o círculo osculador da parábola y=15 x^2 nos pontos (0,0) e (1, 15). Trace os dois círculos osculadores e a parábola na mesma figura.

Passo 1

A questão pede os círculos osculadores da parábola y=tfrac15x^2 nos pontos (0,0) e (1,tfrac15). Vamos usar derivadas para obter a curvatura e o vetor normal, e daí achar raio e centro de cada círculo.

Passo 2

Calcular y' e y'', a curvatura e o vetor normal unitário. Para y=tfrac15x^2 temos
y'=2x5, y''=25
A fórmula do raio de curvatura é
R=l(1+(y')^2r)^3/2|y''|,
e o vetor normal unitário é
N=(-y',;1)raiz1+(y')^2
O centro do círculo osculador em um ponto P é P+R N.

Passo 3

Avaliar em x=0: temos y'=0, y''=2/5 e R=tfrac(1+0)^3/22/5=tfrac52 O vetor normal é (0,1). Logo o centro é (0,0)+(0,5/2)=(0,5/2). A equação do círculo é
x^2+(y-tfrac52)^2=l(tfrac52r)^2=tfrac254

Passo 4

Avaliar em x=1: temos y'=2/5, y''=2/5 e
raiz1+(y')^2=raiz1+tfrac425=raiz295,
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R=(raiz29/5)^32/5=29raiz2950
O vetor normal unitário é
N=(-2/5,1)raiz29/5=(-tfrac2raiz29,tfrac5raiz29)
Com o ponto (1,1/5), o centro fica
l(1,tfrac15r)+R N=l(1-tfrac2925,tfrac15+tfrac2910r)=l(-tfrac425,tfrac3110r)
Assim o círculo é
l(x+tfrac425r)^2+l(y-tfrac3110r)^2=l(tfrac29raiz2950r)^2=tfrac243892500

Passo 5

Para traçar no mesmo gráfico, basta desenhar a parábola y=tfrac15x^2 e sobrepor os dois círculos encontrados.

Resposta

x^2+(y-tfrac52)^2=tfrac254
l(x+tfrac425r)^2+l(y-tfrac3110r)^2=tfrac243892500

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