Encontre as equações da hipérbole e de suas assíntotas, conhecendo:
um foco
, um foco
no eixo y, a distância focal
e a medida do eixo conjugado
.
Esboce as hipérboles.
um foco
Esboce as hipérboles.
Passo 1
O enunciado dá uma hipérbole com foci sobre o eixo
: um foco em
, o outro em
também no eixo
, a distância focal total
e o eixo conjugado de comprimento
. Para resolver vamos usar a forma canônica de uma hipérbole com eixo transverso vertical e a relação
onde
é a distância entre os focos e
é o eixo conjugado.
Passo 2
Da distância focal
obtemos
Como
e
estão simetricamente em relação à origem, o centro da hipérbole é
. O eixo conjugado vale
, logo
Usando
temos
Como a hipérbole é vertical (focos no eixo
), sua equação canônica é
Passo 3
As assíntotas de uma hipérbole vertical com centro na origem são
Substituindo
e
resulta
Passo 4
Esboço da hipérbole:
- Centro em
. - Vértices em
. - Focos em
. - Desenhe as assíntotas
. - Os ramos da hipérbole abrem para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas à medida que
.
Resposta
Equação da hipérbole:
Equações das assíntotas: