Encontre as equações da hipérbole e de suas assíntotas, conhecendo:
um foco F1=(0,-raiz11), um foco F2 no eixo y, a distância focal 2 raiz11 e a medida do eixo conjugado 2 raiz7.
Esboce as hipérboles.

Passo 1

O enunciado dá uma hipérbole com foci sobre o eixo y: um foco em F1=(0,-raiz11), o outro em F2 também no eixo y, a distância focal total 2raiz11 e o eixo conjugado de comprimento 2raiz7. Para resolver vamos usar a forma canônica de uma hipérbole com eixo transverso vertical e a relação
c^2 = a^2 + b^2,
onde 2c é a distância entre os focos e 2b é o eixo conjugado.

Passo 2

Da distância focal 2c=2raiz11 obtemos
c = raiz11
Como F1 e F2 estão simetricamente em relação à origem, o centro da hipérbole é (0,0). O eixo conjugado vale 2b=2raiz7, logo
b = raiz7, b^2 = 7
Usando c^2 = a^2 + b^2 temos
(raiz11)^2 = a^2 + 7 Longrightarrow 11 = a^2 + 7 Longrightarrow a^2 = 4
Como a hipérbole é vertical (focos no eixo y), sua equação canônica é
y^2a^2 ;-;x^2b^2 ;=;1 Longrightarrow y^24 ;-;x^27 ;=;1

Passo 3

As assíntotas de uma hipérbole vertical com centro na origem são
y = pm ab,x
Substituindo a=2 e b=raiz7 resulta
y = pm 2raiz7,x (ou racionalizando) y = pm 2raiz77,x

Passo 4

Esboço da hipérbole:
  • Centro em (0,0).
  • Vértices em (0,pm a)=(0,pm2).
  • Focos em (0,pmraiz11).
  • Desenhe as assíntotas y=pm2raiz7x.
  • Os ramos da hipérbole abrem para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas à medida que |y|toinfty.

Resposta

Equação da hipérbole:
y^24 ;-;x^27 ;=;1
Equações das assíntotas:
y = pm 2raiz7,x (ou;;y = pm 2raiz77,x)

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