Escreva a equação e esboce a elipse
de focos F1=(0,-3) e F2=(0,3) e eixo menor medindo 8 .

Passo 1

O enunciado pede a equação e o esboço de uma elipse cujos focos são F1=(0,-3) e F2=(0,3) e cujo eixo menor tem comprimento 8. Vamos usar a definição de elipse em coordenadas cartesianas centrada na origem, com semi-eixos a (maior) e b (menor), e a relação
c^2 = a^2 - b^2,
onde 2c é a distância entre os focos.

Passo 2

Primeiro encontramos o centro e a orientação da elipse.
O centro é o ponto médio dos focos, ou seja,
l(0,tfrac-3+32r) = (0,0)
Como os focos estão sobre o eixo y, a elipse tem eixo maior vertical e eixo menor horizontal.

Passo 3

Identificamos os parâmetros c e b:
c = distância do centro a um foco = 3, â
b = tfraccomprimento do eixo menor2 = tfrac82 = 4

Passo 4

Usamos a relação entre os semi-eixos:
c^2 = a^2 - b^2 Longrightarrow a^2 = b^2 + c^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 Longrightarrow a = 5

Passo 5

Como o eixo maior é o vertical, a equação padrão é
x^2b^2 + y^2a^2 = 1,
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boxedx^216 + y^225 = 1

Passo 6

Para esboçar a elipse:
  • Centro em (0,0).
  • Vértices (extremos do eixo maior) em (0,pm a)=(0,pm5).
  • Co-vértices (extremos do eixo menor) em (pm b,0)=(pm4,0).
  • Focos em (0,pm3).
O desenho é uma curva fechada, simétrica em relação aos eixos x e y, mais alongada verticalmente, passando pelos vértices e contida no retângulo de cantos (pm4,pm5).

Resposta

Equação:
x^216 + y^225 = 1
Esboço: centro em (0,0), vértices em (0,pm5), co-vértices em (pm4,0) e focos em (0,pm3), com a forma típica de elipse alongada no eixo y.

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