Em uma turbina de ação de simples de estágio, o vapor tem uma vazão de 5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O rotor tem 1,2 \mathrm{~m} de diâmetro e gira a 3000 rpm . O ângulo do bocal é de 18^{\circ}, a relação de velocidade da lâmina/vapor é de 0,4 , o coeficiente de velocidade é de 0,9 , o ângulo de saída da lâmina é de 3^{\circ} a menos que o ângulo de entrada. Determine os ângulos das pás e a potência desenvolvida.
\begin{aligned} U & =\frac{\pi d N}{60} \\ \rho & =\frac{U}{C_{1}} \\ \mathrm{~K} & =\frac{V_{2}}{V_{1}} \end{aligned}

Passo 1

Dados fornecidos (copiando exatamente os números do enunciado):
\dot{m}=5\\ \mathrm{kg/s} (vazão mássica)
d=1{,}2\\ \mathrm{m} (diâmetro do rotor)
N=3000\\ \mathrm{rpm} (rotações por minuto)
\alpha_{1}=18^\circ (ângulo do bocal — direção da velocidade absoluta do vapor na entrada)
relação lâmina/vapor \displaystyle \rho=\frac{U}{C_{1}}=0{,}4
coeficiente de velocidade \displaystyle K=\frac{V_{2}}{V_{1}}=0{,}9
ângulo de saída da pá é 3^\circ menor que o ângulo de entrada: \beta_{2}=\beta_{1}-3^\circ
O que se pede:
  • Determinar os ângulos das pás \beta_{1} e \beta_{2}.
  • Determinar a potência desenvolvida pela turbina P.

Passo 2

Calcular a velocidade periférica da pá U. A fórmula dada é
U=\frac{\pi d N}{60}.
Explicação breve: \pi d é o comprimento da circunferência, multiplicando por N/60 obtemos a velocidade tangencial em metros por segundo. Agora substituímos os valores:
U=\frac{\pi\cdot 1{,}2\cdot 3000}{60}.
Calculando:
U=\pi\cdot 60=60\pi\approx 188{,}4956\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Determinar a velocidade absoluta do vapor na entrada C_{1} a partir da relação \rho=\dfrac{U}{C_{1}}=0{,}4. Isolando C_{1}:
C_{1}=\frac{U}{0{,}4}.
Substituindo U:
C_{1}=\frac{188{,}4956}{0{,}4}\approx 471{,}2389\\ \mathrm{m/s}.
Breve interpretação: C_{1} é a velocidade do jato fornecida pelo bocal; \rho diz quão rápida é a lâmina comparada ao jato.

Passo 4

Montar o triângulo de velocidades na entrada e obter as componentes de V_{1} (velocidade relativa na entrada). Explicação do triângulo (muito importante para a prova):
  • \;C_{1} é a velocidade absoluta do vapor, dirigida pelo bocal com ângulo \alpha_{1} medido em relação à tangente (direção do movimento da pá).
  • \;U é a velocidade tangencial da pá.
  • \;V_{1}=C_{1}-U é a velocidade relativa do vapor vista pela pá (vetorialmente).
Componentes ( adoptando sentido positivo no sentido de movimento tangencial da pá):
tangencial (u) e normal/axial (a):
\begin{aligned} C_{1u}&=C_{1}\cos\alpha_{1},\\[4pt] C_{1a}&=C_{1}\sin\alpha_{1},\\[4pt] V_{1u}&=C_{1u}-U,\\[4pt] V_{1a}&=C_{1a}. \end{aligned}
Agora os números (lembre que todos os símbolos numéricos são colocados em TeX):
\begin{aligned} C_{1u}&=471{,}2389\cos 18^\circ\approx 448{,}2019\\ \mathrm{m/s},\\[4pt] C_{1a}&=471{,}2389\sin 18^\circ\approx 145{,}6000\\ \mathrm{m/s},\\[4pt] V_{1u}&=448{,}2019-188{,}4956\approx 259{,}7063\\ \mathrm{m/s},\\[4pt] V_{1a}&=145{,}6000\\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}]

Passo 5

Calcular a magnitude de V_{1} e o ângulo de entrada relativo \beta_{1}. Fórmula da magnitude:
V_{1}=\sqrt{V_{1u}^{2}+V_{1a}^{2}}.
Substituindo:
V_{1}=\sqrt{(259{,}7063)^{2}+(145{,}6000)^{2}}\approx 297{,}7350\\ \mathrm{m/s}.
O ângulo da pá na entrada \beta_{1} é o ângulo entre V_{1} e a tangente; portanto
\beta_{1}=\arctan\!\left(\frac{V_{1a}}{V_{1u}}\right).
Calculando:
\beta_{1}=\arctan\!\left(\frac{145{,}6000}{259{,}7063}\right)\approx 29{,}23^\circ.

Passo 6

Determinar o ângulo de saída da pá \beta_{2} usando a condição do enunciado:
\beta_{2}=\beta_{1}-3^\circ\approx 29{,}23^\circ-3^\circ=26{,}23^\circ.

Passo 7

Calcular a magnitude de V_{2} usando o coeficiente de velocidade K=\dfrac{V_{2}}{V_{1}}=0{,}9. Assim
V_{2}=K\,V_{1}=0{,}9\cdot 297{,}7350\approx 267{,}9615\\ \mathrm{m/s}.
Explicação: K representa perdas no movimento relativo dentro da pá; V_{2} é menor que V_{1} quando K<1.

Passo 8

Obter as componentes de V_{2} a partir de \beta_{2}. As componentes (módulos) são:
\begin{aligned} V_{2u}&=V_{2}\cos\beta_{2},\\[4pt] V_{2a}&=V_{2}\sin\beta_{2}. \end{aligned}
Numericamente:
\begin{aligned} V_{2u}&=267{,}9615\cos 26{,}23^\circ\approx 240{,}7050\\ \mathrm{m/s},\\[4pt] V_{2a}&=267{,}9615\sin 26{,}23^\circ\approx 117{,}8190\\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}
Observação sobre sinais: o componente tangencial relativo V_{2u} aponta no sentido contrário ao deslocamento da pá (o vapor sai “para trás” relativamente à pá), por isso, ao somar vetorialmente com U para obter C_{2u}, usamos C_{2u}=U-V_{2u}.]

Passo 9

Calcular a componente tangencial da velocidade absoluta na saída C_{2u}. Pela relação vetorial C_{2}=V_{2}+U (componentes tangenciais):
C_{2u}=U-V_{2u}.
Substituindo valores:
C_{2u}=188{,}4956-240{,}7050\approx -52{,}2094\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: C_{2u} negativo significa que a componente tangencial absoluta do vapor na saída está no sentido contrário ao movimento da pá (comportamento possível e comum quando há grande extração de momento).

Passo 10

Calcular o trabalho por unidade de massa (energia específica) fornecido ao rotor. Fórmula clássica (fundamento físico: variação do momento angular do fluido) para uma palheta de impulso:
w=U\left(C_{1u}-C_{2u}\right).
Lembrando C_{1u}=C_{1}\cos\alpha_{1}. Substituindo números:
\begin{aligned} C_{1u}&\approx 448{,}2019\\ \mathrm{m/s},\\[4pt] C_{2u}&\approx -52{,}2094\\ \mathrm{m/s}, \end{aligned}
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w=188{,}4956\left(448{,}2019-(-52{,}2094)\right) =188{,}4956\cdot 500{,}4113\approx 94{,}289{,}6\\ \mathrm{J/kg}.
Explicação: o rotor recebe potência igual à massa que atravessa por segundo multiplicada por essa energia por massa.]

Passo 11

Calcular a potência P multiplicando w pela vazão mássica \dot{m}:
P=\dot{m}\,w=5\cdot 94{,}289{,}6\approx 471{,}448{,}0\\ \mathrm{W}\approx 471{,}45\\ \mathrm{kW}.
Interpretação final: a potência desenvolvida pela turbina na condição dada é aproximadamente 471{,}45\\ \mathrm{kW}.

Resposta

\beta_{1}\approx 29{,}23^\circ
\beta_{2}\approx 26{,}23^\circ
P\approx 471{,}45\\ \mathrm{kW}

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