Uma turbina de ação simples possui ângulos de pá iguais e ângulo de bocal de 15^{\circ}. Determine a eficiência do diagrama máxima possível se o coeficiente de velocidade da pá for 0,85 . Determine a razão de velocidade da pá em relação a velocidade do vapor na entrada do rotor se a eficiência real da pá for 90 \% da eficiência máxima.
\eta_{D, \max }=\frac{\cos ^{2} \alpha_{1} \cdot(1+K C)}{2}
\begin{aligned} K & =\frac{V_{2}}{V_{1}} \\\ C & =\frac{\cos \beta_{2}}{\cos \beta_{1}} \end{aligned}
\eta_{D}=2 \rho\left(\cos \alpha_{1}-\rho\right)(1+K C)

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a eficiência do diagrama máxima possível.
  • Determinar a razão da velocidade da pá em relação à velocidade do vapor na entrada do rotor quando a eficiência real da pá for 90\% da eficiência máxima.
Informações dadas:
  • Ângulo de bocal (ângulo da velocidade absoluta do vapor na entrada): \alpha_{1}=15^\circ.
  • “Coeficiente de velocidade da pá” informado como 0,85 (isso usualmente denota \rho, a razão entre a velocidade periférica da pá e a velocidade absoluta do vapor na entrada; eu vou chamar essa grandeza de \rho quando necessário).
  • As fórmulas fornecidas: \eta_{D,\max}=\frac{\cos^{2}\alpha_{1}\cdot(1+K C)}{2}
K=\frac{V_{2}}{V_{1}},\qquad C=\frac{\cos\beta_{2}}{\cos\beta_{1}}
\eta_{D}=2\rho\bigl(\cos\alpha_{1}-\rho\bigr)(1+K C)
Observações que usarei na resolução (apenas listando aqui; a justificativa vem nos passos seguintes):
  • “Ângulos de pá iguais” implica relação entre \beta_{1} e \beta_{2}.
  • Em turbina de ação (impulso) o comportamento de V_{1} e V_{2} precisa ser avaliado (isso afeta K).

Passo 2

Interpretações e simplificações naturais para este problema (explicadas com calma):
  • “Ângulos de pá iguais” significa que o ângulo de entrada relativo \beta_{1} e de saída relativo \beta_{2} têm a mesma magnitude e orientação útil para o cálculo, portanto \beta_{1}=\beta_{2}\quad\Rightarrow\quad C=\frac{\cos\beta_{2}}{\cos\beta_{1}}=1.Explicando: C mede a diferença de fator coseno entre saída e entrada relativa; se os ângulos são iguais, esses cossenos são iguais e a razão vale 1.
  • Em uma turbina de ação (impulso) ideal, não há variação de pressão estático no rotor, logo a magnitude da velocidade absoluta do fluido antes e depois do rotor se mantém praticamente igual (não estamos considerando perdas de arrasto muito grandes aqui). Assim é razoável assumir V_{2}=V_{1}\quad\Rightarrow\quad K=\frac{V_{2}}{V_{1}}=1.Observação didática: essa é uma suposição padrão para análise idealizada de estágio de ação; se houvesse informação contrária (por exemplo perdas que mudam a velocidade absoluta), teríamos que usar outro K.
Com isso temos imediatamente
1+K C = 1 + 1\cdot 1 = 2.

Passo 3

Cálculo da eficiência de diagrama máxima usando a fórmula dada e as simplificações:
  • Substituindo 1+K C=2 na expressão de \eta_{D,\max} obtemos \eta_{D,\max}=\frac{\cos^{2}\alpha_{1}\cdot 2}{2}=\cos^{2}\alpha_{1}.Ou seja, para este caso particular a eficiência máxima do diagrama é simplesmente o quadrado do cosseno do ângulo do bocal.
  • Agora calculemos \cos^{2}\alpha_{1} para \alpha_{1}=15^\circ. É útil lembrar uma identidade exata: \cos 15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4},portanto \cos^{2}15^\circ=\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)^{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}.Em forma decimal: \cos^{2}15^\circ \approx 0,9330127019 \quad\text{ou}\quad 93,301\%.Conclusão do primeiro item: a eficiência máxima do diagrama é \eta_{D,\max}=\cos^{2}15^\circ\approx 0,9330 (93,30 %).

Passo 4

Preparar a equação para achar \rho quando a eficiência real é 90\% da máxima:
  • A fórmula dada para a eficiência real é \eta_{D}=2\rho\bigl(\cos\alpha_{1}-\rho\bigr)(1+K C).Substituindo 1+K C=2 (do passo 2) obtemos \eta_{D}=2\rho\bigl(\cos\alpha_{1}-\rho\bigr)\cdot 2 = 4\rho\bigl(\cos\alpha_{1}-\rho\bigr).
  • Queremos os valores de \rho tais que \eta_{D}=0{,}9\,\eta_{D,\max}. Como \eta_{D,\max}=\cos^{2}\alpha_{1}, a condição é 4\rho\bigl(\cos\alpha_{1}-\rho\bigr)=0{,}9\,\cos^{2}\alpha_{1}.

Passo 5

Resolver a equação para \rho (passo a passo algébrico):
  • Defino c=\cos\alpha_{1} para simplificar símbolos. A equação fica 4\rho(c-\rho)=0{,}9\,c^{2}.
  • Desenvolvendo e rearranjando para a forma quadrática padrão: 4c\rho-4\rho^{2}=0{,}9\,c^{2}
-4\rho^{2}+4c\rho-0{,}9c^{2}=0
Multiplicando por -1:
4\rho^{2}-4c\rho+0{,}9c^{2}=0.
  • Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para a=4, b=-4c, c_{\text{quad}}=0{,}9c^{2}, \rho=\frac{4c\pm\sqrt{(4c)^{2}-4\cdot 4\cdot 0{,}9c^{2}}}{2\cdot 4} =\frac{4c\pm c\sqrt{16-14{,}4}}{8} =\frac{c\bigl(4\pm\sqrt{1{,}6}\bigr)}{8}.Observação: o fator c=\cos\alpha_{1} foi fatorado dentro da raiz sem perder exatidão porque o discriminante envolveu c^{2}.

Passo 6

Cálculo numérico das raízes usando c=\cos 15^\circ:
  • Primeiro o valor de c: c=\cos 15^\circ\approx 0{,}9659258263.
  • A constante \sqrt{1{,}6}\approx 1{,}2649110641.
  • Assim as duas soluções são \rho_{1}=\frac{c(4+ \sqrt{1{,}6})}{8}\approx 0{,}6357,
\rho_{2}=\frac{c(4- \sqrt{1{,}6})}{8}\approx 0{,}3303.
  • Interpretação física: aparecem duas soluções porque a função \eta_{D}=4\rho(c-\rho) é uma parábola em \rho que atinge um máximo em \rho=c/2 e valores simétricos em torno de c/2 dão a mesma eficiência. Ambas as soluções estão no intervalo físico 0<\rho<c, portanto ambas são matematicamente válidas. Na prática escolheríamos a que for compatível com restrições de projeto (por exemplo limites de velocidade das pás).
  • Observação final sobre o valor dado inicialmente 0{,}85: esse valor (se interpretado como \rho=0{,}85) é maior do que ambas as soluções acima; se realmente \rho=0{,}85 fosse usado, a eficiência seria diferente (menor que 90\% da máxima neste caso). Mas a questão pediu explicitamente a razão \rho que produz 90\% da máxima, e essas são as duas soluções que encontramos.

Resposta

\eta_{D,\max}=\cos^{2}15^\circ\approx 0,9330 (93,30 %)
\rho\approx 0,3303 ou \rho\approx 0,6357

Exercícios relacionados