Uma turbina de ação simples possui ângulos de pá iguais e ângulo de bocal de
. Determine a eficiência do diagrama máxima possível se o coeficiente de velocidade da pá for 0,85 . Determine a razão de velocidade da pá em relação a velocidade do vapor na entrada do rotor se a eficiência real da pá for
da eficiência máxima.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar a eficiência do diagrama máxima possível.
- Determinar a razão da velocidade da pá em relação à velocidade do vapor na entrada do rotor quando a eficiência real da pá for
da eficiência máxima.
Informações dadas:
- Ângulo de bocal (ângulo da velocidade absoluta do vapor na entrada):
. - “Coeficiente de velocidade da pá” informado como
(isso usualmente denota , a razão entre a velocidade periférica da pá e a velocidade absoluta do vapor na entrada; eu vou chamar essa grandeza de quando necessário). - As fórmulas fornecidas:
Observações que usarei na resolução (apenas listando aqui; a justificativa vem nos passos seguintes):
- “Ângulos de pá iguais” implica relação entre
e . - Em turbina de ação (impulso) o comportamento de
e precisa ser avaliado (isso afeta ).
Passo 2
Interpretações e simplificações naturais para este problema (explicadas com calma):
- “Ângulos de pá iguais” significa que o ângulo de entrada relativo
e de saída relativo têm a mesma magnitude e orientação útil para o cálculo, portanto Explicando: mede a diferença de fator coseno entre saída e entrada relativa; se os ângulos são iguais, esses cossenos são iguais e a razão vale 1. - Em uma turbina de ação (impulso) ideal, não há variação de pressão estático no rotor, logo a magnitude da velocidade absoluta do fluido antes e depois do rotor se mantém praticamente igual (não estamos considerando perdas de arrasto muito grandes aqui). Assim é razoável assumir
Observação didática: essa é uma suposição padrão para análise idealizada de estágio de ação; se houvesse informação contrária (por exemplo perdas que mudam a velocidade absoluta), teríamos que usar outro .
Com isso temos imediatamente
Passo 3
Cálculo da eficiência de diagrama máxima usando a fórmula dada e as simplificações:
- Substituindo
na expressão de obtemos Ou seja, para este caso particular a eficiência máxima do diagrama é simplesmente o quadrado do cosseno do ângulo do bocal. - Agora calculemos
para . É útil lembrar uma identidade exata: portanto Em forma decimal: Conclusão do primeiro item: a eficiência máxima do diagrama é (93,30 %).
Passo 4
Preparar a equação para achar
quando a eficiência real é
da máxima:
- A fórmula dada para a eficiência real é
Substituindo (do passo 2) obtemos - Queremos os valores de
tais que . Como , a condição é
Passo 5
Resolver a equação para
(passo a passo algébrico):
- Defino
para simplificar símbolos. A equação fica - Desenvolvendo e rearranjando para a forma quadrática padrão:
Multiplicando por
:
- Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para
, , , Observação: o fator foi fatorado dentro da raiz sem perder exatidão porque o discriminante envolveu .
Passo 6
Cálculo numérico das raízes usando
:
- Primeiro o valor de
: - A constante
. - Assim as duas soluções são
- Interpretação física: aparecem duas soluções porque a função
é uma parábola em que atinge um máximo em e valores simétricos em torno de dão a mesma eficiência. Ambas as soluções estão no intervalo físico , portanto ambas são matematicamente válidas. Na prática escolheríamos a que for compatível com restrições de projeto (por exemplo limites de velocidade das pás). - Observação final sobre o valor dado inicialmente
: esse valor (se interpretado como ) é maior do que ambas as soluções acima; se realmente fosse usado, a eficiência seria diferente (menor que da máxima neste caso). Mas a questão pediu explicitamente a razão que produz da máxima, e essas são as duas soluções que encontramos.