Escreva equações paramétricas de uma esfera de raio a e centro na origem.

Passo 1

O enunciado pede: escrever equações paramétricas de uma esfera de raio a com centro na origem.
Informações dadas e o que precisamos entregar:
  • Dado: raio a (assumir a>0).
  • Pedir: uma aplicação que, para cada par de parâmetros (u,v) em algum domínio em \mathbb{R}^2, dê as coordenadas (x,y,z) de um ponto da esfera de raio a centrada em (0,0,0).
  • Devemos especificar também os intervalos para os parâmetros para que a superfície inteira seja descrita (evitando repetições óbvias).

Passo 2

Ideia básica (explicação didática): a superfície de uma esfera é bidimensional, então precisamos de dois parâmetros. A forma mais comum é usar ângulos — isto é, coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas usuais usamos três números (r,\theta,\varphi) onde:
  • r é a distância ao centro (para a esfera essa distância é fixa: r=a),
  • \theta é o ângulo polar (colatitude), medido a partir do eixo z positivo, variando de 0 (polo norte) até \pi (polo sul),
  • \varphi é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x positivo, variando tipicamente em [0,2\pi).
As fórmulas que relacionam coordenadas esféricas à coordenadas cartesianas são (para qualquer r):
x = r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y = r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z = r\cos\theta.
Como na esfera temos r=a constante, substituímos r por a para obter a parametrização da superfície.

Passo 3

Escrevendo explicitamente as equações paramétricas (forma padrão):
x(\theta,\varphi) = a\sin\theta\cos\varphi,
y(\theta,\varphi) = a\sin\theta\sin\varphi,
z(\theta,\varphi) = a\cos\theta,
com os parâmetros variando em
\theta\in[0,\pi],\qquad \varphi\in[0,2\pi).
Explicação dos intervalos: \theta percorre do polo norte ao polo sul; \varphi faz a volta completa em torno do eixo z. Tomar \varphi=2\pi ou \varphi=0 produz os mesmos pontos, por isso costuma-se abrir o intervalo em [0,2\pi) para evitar duplicação trivial.

Passo 4

Verificação rápida de que essa parametrização dá a esfera pedida: calcular x^2+y^2+z^2.
x^2+y^2+z^2 = a^2\sin^2\theta\cos^2\varphi + a^2\sin^2\theta\sin^2\varphi + a^2\cos^2\theta = a^2\sin^2\theta(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)+a^2\cos^2\theta = a^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)=a^2.
Portanto todos os pontos gerados satisfazem \,x^2+y^2+z^2=a^2\,, ou seja, estão sobre a esfera de raio a centrada na origem.

Passo 5

Observações práticas e alternativas (úteis na prova):
  • Pontos especiais: \theta=0 dá o ponto (0,0,a) (polo norte) e \theta=\pi (0,0,-a) (polo sul). Nesses pontos o valor de \varphi é irrelevante (por isso existe uma “degeneração” do parâmetro nos polos).
  • Alternativa popular usando latitude \lambda (medida a partir do equador) e longitude \varphi: tomar \lambda\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] e \varphi\in[0,2\pi) e usar
x(\lambda,\varphi)=a\cos\lambda\cos\varphi,\quad y(\lambda,\varphi)=a\cos\lambda\sin\varphi,\quad z(\lambda,\varphi)=a\sin\lambda.
Essa forma é equivalente à anterior por \lambda=\tfrac{\pi}{2}-\theta. Use a convenção que preferir, mas sempre informe o intervalo dos parâmetros.

Passo 6

Resumo para decorar e usar na prova: a parametrização padrão (coordenadas esféricas) e a alternativa por latitude-longitude são as duas formas mais usadas. Lembre-se de checar os intervalos dos parâmetros e de mencionar que \varphi é periódico com período 2\pi.

Resposta

x(\theta,\varphi)=a\sin\theta\cos\varphi,\qquad y(\theta,\varphi)=a\sin\theta\sin\varphi,\qquad z(\theta,\varphi)=a\cos\theta,
\theta\in[0,\pi],\qquad \varphi\in[0,2\pi)
\text{(alternativa)}\quad x(\lambda,\varphi)=a\cos\lambda\cos\varphi,\qquad y(\lambda,\varphi)=a\cos\lambda\sin\varphi,\qquad z(\lambda,\varphi)=a\sin\lambda,
\lambda\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right],\qquad \varphi\in[0,2\pi).

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