Escreva equações paramétricas de uma esfera de raio
e centro na origem.
Passo 1
O enunciado pede: escrever equações paramétricas de uma esfera de raio
com centro na origem.
Informações dadas e o que precisamos entregar:
Informações dadas e o que precisamos entregar:
- Dado: raio
(assumir ). - Pedir: uma aplicação que, para cada par de parâmetros
em algum domínio em , dê as coordenadas de um ponto da esfera de raio centrada em . - Devemos especificar também os intervalos para os parâmetros para que a superfície inteira seja descrita (evitando repetições óbvias).
Passo 2
Ideia básica (explicação didática): a superfície de uma esfera é bidimensional, então precisamos de dois parâmetros. A forma mais comum é usar ângulos — isto é, coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas usuais usamos três números
onde:
-
é a distância ao centro (para a esfera essa distância é fixa: ), -
é o ângulo polar (colatitude), medido a partir do eixo positivo, variando de (polo norte) até (polo sul), -
é o ângulo azimutal no plano , medido a partir do eixo positivo, variando tipicamente em .
As fórmulas que relacionam coordenadas esféricas à coordenadas cartesianas são (para qualquer
):
Como na esfera temos
constante, substituímos
por
para obter a parametrização da superfície.
Passo 3
Escrevendo explicitamente as equações paramétricas (forma padrão):
com os parâmetros variando em
Explicação dos intervalos:
percorre do polo norte ao polo sul;
faz a volta completa em torno do eixo
. Tomar
ou
produz os mesmos pontos, por isso costuma-se abrir o intervalo em
para evitar duplicação trivial.
Passo 4
Verificação rápida de que essa parametrização dá a esfera pedida: calcular
.
Portanto todos os pontos gerados satisfazem
, ou seja, estão sobre a esfera de raio
centrada na origem.
Passo 5
Observações práticas e alternativas (úteis na prova):
- Pontos especiais:
dá o ponto (polo norte) e dá (polo sul). Nesses pontos o valor de é irrelevante (por isso existe uma “degeneração” do parâmetro nos polos). - Alternativa popular usando latitude
(medida a partir do equador) e longitude : tomar e e usar
Essa forma é equivalente à anterior por
. Use a convenção que preferir, mas sempre informe o intervalo dos parâmetros.
Passo 6
Resumo para decorar e usar na prova: a parametrização padrão (coordenadas esféricas) e a alternativa por latitude-longitude são as duas formas mais usadas. Lembre-se de checar os intervalos dos parâmetros e de mencionar que
é periódico com período
.