Seja \vec{F}=\nabla f, onde f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}. Desenhe \vec{F}(x, y, z) com x^{2}+y^{2}=1, x> 0, y>0, z>0.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o campo de vetores \vec{F}=\nabla f, com
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}
mas restrito aos pontos do cilindro
\;x^{2}+y^{2}=1,\quad x>0,\;y>0,\;z>0.
O conteúdo é cálculo de gradiente e interpretação geométrica de um campo de gradiente em uma superfície.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f. Por definição,
\nabla f = \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr).
Como f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}, temos
\frac{\partial f}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=2y,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=2z,
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\vec{F}(x,y,z)=\nabla f(x,y,z)=(2x,\,2y,\,2z).

Passo 3

Para visualizar sobre o cilindro, parametrizamos os pontos do cilindro em coordenadas cilíndricas (na região x>0,y>0):
\begin{cases} x=\cos\theta,\\\ y=\sin\theta,\\\ z=z, \end{cases}\quad \theta\in\bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr),\;z>0.

Passo 4

No cilindro temos (x,y)=(\cos\theta,\sin\theta). Substituindo em \vec{F}:
\vec{F}(\theta,z)=\bigl(2\cos\theta,\;2\sin\theta,\;2z\bigr).

Passo 5

Cada vetor \vec{F}(\theta,z) tem componente radial (2\cos\theta,2\sin\theta,0) e componente vertical (0,0,2z). Geometricamente:
  • A parte (2\cos\theta,2\sin\theta,0) aponta para fora do eixo z, normal ao cilindro.
  • A parte (0,0,2z) aponta para cima, e cresce em módulo com z.
    O comprimento total é
\|\vec{F}\|=2\sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta+z^{2}}=2\sqrt{1+z^{2}}.

Passo 6

Para desenhar:
  1. Desenhe o quarto de cilindro de raio 1 no primeiro quadrante x>0,y>0, estendendo-se para z>0.
  2. Em cada ponto do cilindro trace um vetor que incline “para fora” (radial) e “para cima” (vertical).
  3. Quanto maior z, mais inclinado para cima e maior o comprimento do vetor.

Resposta

O campo é dado por
\vec{F}(x,y,z)=(2x,2y,2z)
sobre o cilindro x^{2}+y^{2}=1, x>0, y>0, z>0. Num esboço, cada vetor sai perpendicular ao cilindro apontando radialmente para fora e inclinando-se para cima, com magnitude crescente em z.

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