Encontre equações em x e y cujo gráfico represente a trajetória da partícula. Depois encontre os vetores aceleração e velocidade da partícula no instante t dado.
\mathrm{r}(t)=e^{t} \mathbf{i}+\frac{2}{9} e^{2 t} \mathbf{j}, \quad t=\ln 3

Passo 1

O enunciado nos dá a função de posição
\mathbf r(t)=e^{t}\,\mathbf i+\frac{2}{9}e^{2t}\,\mathbf j
e pede (a) as equações em x e y que descrevem a trajetória no plano e (b) os vetores velocidade e aceleração no instante t=\ln3. Para resolver usamos eliminação de parâmetro para achar a forma cartesiana da curva e derivação para obter \mathbf v(t) e \mathbf a(t).

Passo 2

Extraímos as equações paramétricas da posição:
x(t)=e^{t},
y(t)=\frac{2}{9}e^{2t}.

Passo 3

Eliminamos o parâmetro t. Como x=e^t, temos t=\ln x. Substituindo em y:
y=\frac{2}{9}e^{2\ln x}=\frac{2}{9}x^{2}.
Logo a curva é dada por
y=\frac{2}{9}x^{2}.

Passo 4

Calculamos o vetor velocidade como derivada de \mathbf r(t):
\mathbf v(t)=\mathbf r'(t) =e^{t}\,\mathbf i+\frac{2}{9}\cdot2e^{2t}\,\mathbf j =e^{t}\,\mathbf i+\frac{4}{9}e^{2t}\,\mathbf j.

Passo 5

Calculamos o vetor aceleração como derivada de \mathbf v(t):
\mathbf a(t)=\mathbf v'(t) =e^{t}\,\mathbf i+\frac{4}{9}\cdot2e^{2t}\,\mathbf j =e^{t}\,\mathbf i+\frac{8}{9}e^{2t}\,\mathbf j.

Passo 6

Avaliamo-los em t=\ln3. Como e^{\ln3}=3 e e^{2\ln3}=9, obtemos
\mathbf v(\ln3) =3\,\mathbf i+\frac{4}{9}\cdot9\,\mathbf j =3\,\mathbf i+4\,\mathbf j,
\mathbf a(\ln3) =3\,\mathbf i+\frac{8}{9}\cdot9\,\mathbf j =3\,\mathbf i+8\,\mathbf j.

Resposta

Equações paramétricas:
x=e^{t},\quad y=\frac{2}{9}e^{2t}.
Equação cartesiana da trajetória:
y=\frac{2}{9}x^{2}.
Vetor velocidade em t=\ln3:
\mathbf v(\ln3)=3\,\mathbf i+4\,\mathbf j.
Vetor aceleração em t=\ln3:
\mathbf a(\ln3)=3\,\mathbf i+8\,\mathbf j.

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