\int_{0}^{\pi / 3}[(\operatorname{sec} t \operatorname{tg} t) \mathbf{i}+(\operatorname{tg} t) \mathbf{j}+(2 \operatorname{sen} t \cos t) \mathbf{k}]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral vetor
\int_{0}^{\pi/3}\bigl[\operatorname{sec} t\,\tan t\,\mathbf{i} \;+\;\tan t\,\mathbf{j}\;+\;2\sin t\cos t\,\mathbf{k}\bigr]\,dt.
A estratégia é integrar cada componente separadamente usando antiderivadas conhecidas:
  • para \operatorname{sec} t\,\tan t
  • para \tan t
  • para 2\sin t\cos t

Passo 2

Integramos a primeira componente
\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{sec} t\,\tan t\,dt.
Sabemos que
\frac{d}{dt}(\operatorname{sec} t)=\operatorname{sec} t\,\tan t,
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\int \operatorname{sec} t\,\tan t\,dt = \operatorname{sec} t.
Avaliando de 0 a \pi/3:
\bigl[\operatorname{sec} t\bigr]_{0}^{\pi/3} = \operatorname{sec}\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)\;-\;\operatorname{sec}(0) = 2 \;-\;1 =1.

Passo 3

Agora a segunda componente
\int_{0}^{\pi/3}\tan t\,dt.
Uma antiderivada de \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} é
\int \tan t\,dt = -\ln\bigl|\cos t\bigr|.
Avaliando:
-\ln\bigl|\cos(\tfrac{\pi}{3})\bigr| \;-\;\bigl(-\ln\bigl|\cos(0)\bigr|\bigr) = -\ln\bigl(\tfrac12\bigr) - \bigl(-\ln(1)\bigr) = \ln2.

Passo 4

Por fim, a terceira componente
\int_{0}^{\pi/3}2\sin t\cos t\,dt.
Repare que
2\sin t\cos t = \sin(2t),
mas a forma mais direta é notar que
\frac{d}{dt}\bigl(\sin^2 t\bigr) = 2\sin t\cos t.
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\int 2\sin t\cos t\,dt = \sin^2 t,
e avaliando:
\bigl[\sin^2 t\bigr]_{0}^{\pi/3} = \sin^2\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) - \sin^2(0) = \Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)^2 - 0 = \tfrac34.

Resposta

\int_{0}^{\pi/3}\bigl[\operatorname{sec} t\,\tan t\,\mathbf{i}+\tan t\,\mathbf{j}+2\sin t\cos t\,\mathbf{k}\bigr]\,dt = \mathbf{i} \;+\; (\ln2)\,\mathbf{j} \;+\;\tfrac34\,\mathbf{k}.

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