EXEMPLO 10 Esboce as curvas de nível da função f(x, y)=6-3 x-2 y para os valores k=-6,0,6,12.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=6-3x-2y e pede que esbocemos as curvas de nível definidas por
f(x,y)=k
para k=-6,0,6,12. O conteúdo é curvas de nível e vamos aplicar a definição f(x,y)=k para obter, em cada caso, uma reta no plano.

Passo 2

Para um valor genérico k, a curva de nível satisfaz
6 - 3x - 2y = k

Passo 3

Isolando y nessa equação, temos
-2y = k - 6 + 3x
y = -\frac{3}{2}\,x \;+\;\frac{6 - k}{2}
Logo, cada curva de nível é uma reta de coeficiente angular -\tfrac32 e coeficiente linear \tfrac{6-k}{2}.

Passo 4

Agora calculamos o coeficiente linear para cada k:
Para k=-6:
\frac{6 - (-6)}{2} = \frac{12}{2} = 6,
então
y = -\frac{3}{2}x + 6.
Para k=0:
\frac{6 - 0}{2} = 3,
então
y = -\frac{3}{2}x + 3.
Para k=6:
\frac{6 - 6}{2} = 0,
então
y = -\frac{3}{2}x.
Para k=12:
\frac{6 - 12}{2} = -3,
então
y = -\frac{3}{2}x - 3.

Passo 5

Como todas as retas têm o mesmo coeficiente angular -\tfrac32 e interceptos em y iguais a 6,3,0,-3, o esboço consiste em traçar quatro retas paralelas inclinadas negativamente, deslocadas verticalmente conforme cada intercepto. Basta marcar no eixo y os pontos 6,3,0,-3 e desenhar retas de inclinação -\tfrac32.

Resposta

Para k=-6: y=-\tfrac{3}{2}x+6
Para k=0: y=-\tfrac{3}{2}x+3
Para k=6: y=-\tfrac{3}{2}x
Para k=12: y=-\tfrac{3}{2}x-3

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