Encontre as equações reduzidas da reta que passa pelos pontos \mathrm{P}(0,-4,-5) e \mathrm{Q}(1,-2,-2).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa pelos pontos P(0,-4,-5) e Q(1,-2,-2).
O conteúdo é geometria analítica no espaço: vamos precisar do vetor diretor da reta e depois usar a forma paramétrica e, a partir dela, a forma reduzida (símétrica) da reta.

Passo 2

Calculamos o vetor diretor \vec{v} como a diferença das coordenadas de Q e P:
\vec{v} = \overrightarrow{PQ} = (1-0,\;-2-(-4),\;-2-(-5)) = (1,\;2,\;3).

Passo 3

A forma paramétrica da reta, tomando P como ponto de apoio e t\in\mathbb{R} como parâmetro, é
\begin{cases} x = 0 + 1\,t = t,\\\ y = -4 + 2\,t,\\\ z = -5 + 3\,t. \end{cases}

Passo 4

Para obter a forma reduzida (símétrica), isolamos t em cada equação paramétrica:
t = x,\quad t = \frac{y+4}{2},\quad t = \frac{z+5}{3}.
Logo a equação reduzida da reta é
\frac{x-0}{1} \;=\;\frac{y+4}{2}\;=\;\frac{z+5}{3}.

Resposta

\text{Forma paramétrica: } \begin{cases} x = t,\\\ y = -4 + 2t,\\\ z = -5 + 3t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}é
\text{Forma reduzida: } \frac{x}{1} \;=\;\frac{y+4}{2}\;=\;\frac{z+5}{3}.

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