São dadas as equações paramétricas de r:\left\{\begin{array}{c}x=1+2 t \\\ y=-2+3 t \\\ z=-5 t\end{array}\right., obter as equações simétricas

Passo 1

O enunciado nos dá as equações paramétricas da reta r:
\begin{cases} x = 1 + 2t,\\\ y = -2 + 3t,\\\ z = -5t. \end{cases}
O conteúdo aqui é converter de forma paramétrica para a forma simétrica de uma reta no espaço, usando o ponto inicial e o vetor diretor.

Passo 2

Identificamos na paramétrica o ponto inicial (x_0,y_0,z_0) e o vetor diretor \vec v=(a,b,c):
(x_0,y_0,z_0) = (1,-2,0), \quad \vec v = (2,\,3,\,-5).

Passo 3

A forma simétrica de uma reta, quando nenhum dos componentes de \vec v é zero, é
\frac{x - x_0}{a} \;=\;\frac{y - y_0}{b} \;=\;\frac{z - z_0}{c}.
Substituindo os valores encontrados,
\frac{x - 1}{2} \;=\;\frac{y + 2}{3} \;=\;\frac{z - 0}{-5}.

Resposta

\frac{x - 1}{2} \;=\;\frac{y + 2}{3} \;=\;\frac{z}{-5}.

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