Encontre equações de reta(s) tangente(s) à curva y=x-8x+8 que são paralelas à reta 8=x-y.

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos achar as equações das retas tangentes à curva y = x-8x+8 que sejam paralelas à reta 8 = x - y. O conteúdo envolve derivada de uma função quociente e a condição de paralelismo (mesma inclinação).

Passo 2

Para achar a derivada de y = x-8x+8, aplicamos a regra do quociente:
ddx(uv) = u'v - uv'v^2,
com u = x-8 e v = x+8. Assim,
y' = 1cdot(x+8) - (x-8)cdot1(x+8)^2 = 16(x+8)^2

Passo 3

Como as retas que buscamos são paralelas à reta dada, elas têm a mesma inclinação. A reta 8 = x - y pode ser escrita como y = x - 8, cuja inclinação é m=1. Logo, igualamos a derivada a 1:
16(x+8)^2 = 1

Passo 4

Resolvendo 16(x+8)^2 = 1 obtemos (x+8)^2 = 16, portanto x + 8 = pm4, o que dá x = -4 ou x = -12.

Passo 5

Para cada valor de x, calculamos y na curva:
se x=-4: y = -4 -8-4 +8 = -3,
se x=-12: y = -12 -8-12 +8 = 5

Passo 6

Por fim, escrevemos a equação da reta tangente em cada ponto usando a forma ponto-inclinação y - y0 = m(x - x0) com m=1:
para (-4,-3):
y + 3 = 1(x + 4)implies y = x + 1,
para (-12,5):
y - 5 = 1(x + 12)implies y = x + 17

Resposta

As retas tangentes paralelas são y = x + 1 e y = x + 17.

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