1. \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}
e pede para encontrar as funções y(x) que satisfazem essa igualdade.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • É uma equação envolvendo a segunda derivada de y e o quadrado da primeira derivada.
  • Não há condições iniciais dadas, então devemos obter a família geral de soluções (com constantes de integração).
  • Devemos considerar soluções constantes separadamente se surgirem naturalmente.

Passo 2

Vamos reduzir a ordem definindo uma nova função para a derivada primeira. Seja
p(x)=\frac{dy}{dx}.
Isso é útil porque a equação envolve y'' e (y')^{2}, então podemos reescrever y'' como p'(x). Substituindo, obtemos a equação para p:
p'(x)=p(x)^{2}.
Agora o problema virou uma equação de primeira ordem para p(x).

Passo 3

Resolvendo p'(x)=p(x)^{2}. Esta é uma equação separável. Para p\neq 0 podemos separar as variáveis:
\frac{dp}{dx}=p^{2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{dp}{p^{2}}=dx.
Agora integramos os dois lados. A integral do lado esquerdo é direta: \displaystyle\int p^{-2}\,dp=-p^{-1}. Assim,
\int\frac{dp}{p^{2}}=\int dx \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{p}=x+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.

Passo 4

Isolando p obtemos, para a solução não constante,
p(x)=\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x+C_{1}}.
Note também que p(x)\equiv 0 é solução da equação p'=p^{2} (pois 0'=0), ou seja, a derivada nula é um caso especial que deve ser tratado separadamente: ele corresponde a y constante.

Passo 5

Agora integramos para obter y(x). Partindo de
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x+C_{1}},
separamos e integramos:
dy=-\frac{dx}{x+C_{1}}\quad\Longrightarrow\quad \int dy=-\int\frac{dx}{x+C_{1}}.
A integral do lado direito é -\ln|x+C_{1}|. Portanto
y(x)=-\ln|x+C_{1}|+C_{2},
onde C_{2} é uma nova constante de integração. Lembre que a função só está definida para x\neq -C_{1} (há uma singularidade vertical nesse ponto).

Passo 6

Juntando os casos, as soluções gerais são:
  • Família não constante: \displaystyle y(x)=-\ln|x+C_{1}|+C_{2}, com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias e x\neq -C_{1}.
  • Solução constante: \displaystyle y(x)=C, onde C é constante (caso correspondente a p\equiv 0).

Passo 7

Verificação rápida (pra ganhar confiança): para a solução não constante compute
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x+C_{1}},\qquad \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{1}{(x+C_{1})^{2}}.
E
\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}=\frac{1}{(x+C_{1})^{2}}.
Como os dois lados coincidem, a solução está correta. Para a solução constante y=C tem-se y'=0 e y''=0, também satisfaz a equação.

Passo 8

Observações práticas para prova:
  • Ao ver y''=(y')^{2} rapidamente pense em p=y' para reduzir a ordem: isso é um truque comum e rápido.
  • Lembre de checar a solução p\equiv 0 separadamente (às vezes perde-se essa solução se dividir por p sem cuidado).
  • As constantes C_{1},C_{2} são determinadas por condições iniciais; por exemplo, se dados y(x_{0})=y_{0} e y'(x_{0})=p_{0} com p_{0}\neq 0, então
p_{0}=-\frac{1}{x_{0}+C_{1}}\\ \Rightarrow\\ C_{1}=-\frac{1}{p_{0}}-x_{0},
e em seguida C_{2}=y_{0}+\ln|x_{0}+C_{1}|.

Resposta

\displaystyle y(x)=-\ln|x+C_{1}|+C_{2} (com C_{1},C_{2} constantes e x\neq -C_{1})
\displaystyle y(x)=C (constante)

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