Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar as funções
que satisfazem essa igualdade.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- É uma equação envolvendo a segunda derivada de
e o quadrado da primeira derivada. - Não há condições iniciais dadas, então devemos obter a família geral de soluções (com constantes de integração).
- Devemos considerar soluções constantes separadamente se surgirem naturalmente.
Passo 2
Vamos reduzir a ordem definindo uma nova função para a derivada primeira. Seja
Isso é útil porque a equação envolve
e
, então podemos reescrever
como
. Substituindo, obtemos a equação para
:
Agora o problema virou uma equação de primeira ordem para
.
Passo 3
Resolvendo
. Esta é uma equação separável. Para
podemos separar as variáveis:
Agora integramos os dois lados. A integral do lado esquerdo é direta:
. Assim,
onde
é constante de integração.
Passo 4
Isolando
obtemos, para a solução não constante,
Note também que
é solução da equação
(pois
), ou seja, a derivada nula é um caso especial que deve ser tratado separadamente: ele corresponde a
constante.
Passo 5
Agora integramos para obter
. Partindo de
separamos e integramos:
A integral do lado direito é
. Portanto
onde
é uma nova constante de integração. Lembre que a função só está definida para
(há uma singularidade vertical nesse ponto).
Passo 6
Juntando os casos, as soluções gerais são:
- Família não constante:
, com constantes arbitrárias e . - Solução constante:
, onde é constante (caso correspondente a ).
Passo 7
Verificação rápida (pra ganhar confiança): para a solução não constante compute
E
Como os dois lados coincidem, a solução está correta. Para a solução constante
tem-se
e
, também satisfaz a equação.
Passo 8
Observações práticas para prova:
- Ao ver
rapidamente pense em para reduzir a ordem: isso é um truque comum e rápido. - Lembre de checar a solução
separadamente (às vezes perde-se essa solução se dividir por sem cuidado). - As constantes
são determinadas por condições iniciais; por exemplo, se dados e com , então
e em seguida
.