Encontre as equações de todas as retas que são tangentes à circunferência
e passam pelo ponto
.
Sugestão: A reta
é tangente à circunferência se tem um único ponto em comum com a mesma.
Sugestão: A reta
Passo 1
O enunciado pede as retas que passam por
e são tangentes à circunferência
Este é um exercício de geometria analítica em que vamos usar a condição de tangência: a reta genérica intersecta a circunferência num único ponto se, ao substituir sua equação na da circunferência, o polinômio resultante em
tiver discriminante igual a zero.
Passo 2
Reescrevendo a circunferência em forma padrão, completamos o quadrado em
:
Logo o centro é
e o raio é
.
Passo 3
Como a reta deve passar por
, podemos escrever sua equação na forma
onde
é o coeficiente angular a determinar. Substituindo em
, temos
Passo 4
Expandindo e reorganizando, obtemos um quadrático em
:
A condição de tangência exige que o discriminante seja zero:
Assim
Passo 5
Substituindo cada valor de
na equação
, ficamos com as duas retas tangentes:
Resposta
As equações das retas são