Encontre as equações de todas as retas que são tangentes à circunferência x^2+y^2=2 y e passam pelo ponto (0,4).
Sugestão: A reta y=m x+4 é tangente à circunferência se tem um único ponto em comum com a mesma.

Passo 1

O enunciado pede as retas que passam por (0,4) e são tangentes à circunferência
x^2+y^2=2y
Este é um exercício de geometria analítica em que vamos usar a condição de tangência: a reta genérica intersecta a circunferência num único ponto se, ao substituir sua equação na da circunferência, o polinômio resultante em x tiver discriminante igual a zero.

Passo 2

Reescrevendo a circunferência em forma padrão, completamos o quadrado em y:
x^2+y^2-2y=0 Longrightarrow x^2+(y-1)^2=1
Logo o centro é (0,1) e o raio é 1.

Passo 3

Como a reta deve passar por (0,4), podemos escrever sua equação na forma
y = m x + 4,
onde m é o coeficiente angular a determinar. Substituindo em x^2+y^2=2y, temos
x^2 + (m x + 4)^2 = 2,(m x + 4)

Passo 4

Expandindo e reorganizando, obtemos um quadrático em x:
(1 + m^2),x^2 + 6m,x + 8 = 0
A condição de tangência exige que o discriminante seja zero:
De<a = (6m)^2 - 4,(1 + m^2)cdot 8 = 36m^2 - 32 - 32m^2 = 4m^2 - 32 = 0
Assim
m^2 = 8 Longrightarrow m = pm 2raiz2

Passo 5

Substituindo cada valor de m na equação y = m x + 4, ficamos com as duas retas tangentes:
y = 2raiz2,x + 4 e y = -2raiz2,x + 4

Resposta

As equações das retas são
y = 2raiz2,x + 4 e y = -2raiz2,x + 4

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