Em que pontos a circunferência x^2+y^2-8 x-6 y-11=0 intercepta
a reta x+y=1 ?

Passo 1

O enunciado pede os pontos de interseção entre a circunferência
x^2+y^2-8x-6y-11=0
e a reta
x+y=1
Conteúdo: geometria analítica (interseção de reta e circunferência). Vamos (1) colocar a circunferência em forma centrada, (2) parametrizar a reta como y=1-x, (3) substituir na circunferência, (4) resolver o quadrático resultante e (5) obter os valores de y.

Passo 2

Complete os quadrados na equação da circunferência:
x^2-8x + y^2-6y = 11
(x-4)^2-16 + (y-3)^2-9 = 11
Longrightarrow (x-4)^2 + (y-3)^2 = 36

Passo 3

Da reta x+y=1 vem
y = 1 - x
Substitua em (x-4)^2 + (y-3)^2 = 36:
(x-4)^2 + l((1-x)-3r)^2 = 36
(x-4)^2 + (-x-2)^2 = 36

Passo 4

Expanda e simplifique:
(x-4)^2 + (-x-2)^2 = x^2-8x+16 + x^2+4x+4 = 36
2x^2 -4x +20 = 36
2x^2 -4x -16 = 0
x^2 -2x -8 = 0
Resolva:
x = 2 pm raiz4 +322 = 2 pm 62
Longrightarrow x = 4 ou x = -2

Passo 5

Para cada x, calcule y=1-x:
  • Se x=4, então y = 1-4 = -3.
  • Se x=-2, então y = 1-(-2) = 3.

Resposta

Os pontos de interseção são (4,-3) e (-2,3).

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