Encontre as equações vetorial e geral das retas que passam pelo ponto P_{0} e possuem vetor diretor \vec{v}, respectivamente.
P_{0}=(2,1) e $\vec{v}=(-3,2)

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta que passa por P_{0}=(2,1) e tem vetor diretor \vec v = (-3,2). Vamos usar a fórmula da forma vetorial (ou paramétrica) da reta e, em seguida, transformar em forma geral (equação de primeiro grau em x e y).

Passo 2

A equação vetorial da reta com ponto P_{0}=(2,1) e vetor diretor \vec v =(-3,2) é
\vec r(t) = \bigl(2,1\bigr) + t\,(-3,2),
onde t\in\mathbb{R}. Em coordenadas paramétricas, isso equivale a
\begin{cases} x = 2 - 3t,\\\ y = 1 + 2t. \end{cases}

Passo 3

Para obter a forma geral, precisamos de um vetor normal \vec n=(a,b) tal que \vec n\cdot\vec v=0. Como
(a,b)\cdot(-3,2)= -3a + 2b = 0,
uma escolha simples é a=2 e b=3, pois -3\cdot2 + 2\cdot3 = 0.

Passo 4

A equação geral da reta é dada por \vec n\cdot\bigl((x,y)-P_{0}\bigr)=0, ou seja,
2\,(x-2) + 3\,(y-1) = 0.
Expandindo, obtemos
2x + 3y - 7 = 0.

Resposta

Equação vetorial:
\vec r(t) = (2,1) + t\,(-3,2),\quad t\in\mathbb{R}.
Equação geral:
2x + 3y - 7 = 0.

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