Encontre as equações vetorial e geral das retas que passam pelo ponto P_{0} e possuem vetor diretor \vec{v}, respectivamente.
P_{0}=(-2,4) e $\vec{v}=(4,-2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a equação vetorial e a equação geral da reta que passa por P_{0}=(-2,4) e tem vetor diretor \vec v=(4,-2). O conteúdo aqui é a representação de retas no plano usando a forma vetorial
\vec r(t)=\vec P_{0}+t\,\vec v
e a forma implícita (geral)
Ax+By+C=0.

Passo 2

Para obter a equação vetorial substituímos \vec P_{0} e \vec v na fórmula
\vec r(t)=\vec P_{0}+t\,\vec v.
Como \vec P_{0}=\langle -2,4\rangle e \vec v=\langle 4,-2\rangle, temos
\vec r(t)=\langle -2,4\rangle + t\langle 4,-2\rangle,
o que em coordenadas dá o sistema paramétrico
\begin{cases} x=-2+4t,\\\ y=4-2t. \end{cases}

Passo 3

Para passar à forma geral precisamos de um vetor normal à reta. Um normal \vec n=(A,B) satisfaz \vec n\cdot\vec v=0. Como \vec v=(4,-2), escolhemos
\vec n=(2,4)
pois
\langle 2,4\rangle\cdot\langle 4,-2\rangle=2\cdot4+4\cdot(-2)=0.
A equação implícita usa
\vec n\cdot\bigl((x,y)-P_{0}\bigr)=0,
ou seja
2(x+2)+4(y-4)=0.
Distribuindo e simplificando vem
2x+4+4y-16=0
2x+4y-12=0
e dividindo por 2
x+2y-6=0.

Resposta

Equação vetorial:
\vec r(t)=\langle -2,4\rangle + t\langle 4,-2\rangle.
Equação geral:
x+2y-6=0.

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