Encontre as equações vetorial e geral das retas que passam pelos pontos P_{0} e P_{1}, abaixo.
P_{0}=(4,-3) e P_{1}=(-2,7)

Passo 1

O enunciado pede as equações de reta que passam pelos pontos P_{0}=(4,-3) e P_{1}=(-2,7). O conteúdo é geometria analítica de retas no plano: primeiro vamos achar o vetor direção, depois montar a equação vetorial (forma paramétrica) e por fim obter a equação geral (forma implícita).

Passo 2

Para achar o vetor direção \mathbf{v} da reta, subtraímos as coordenadas de P_{0} de P_{1}:
\mathbf{v} = P_{0}P_{1} = \bigl(-2-4,\;7-(-3)\bigr) = (-6,\,10).
Podemos simplificar dividindo por 2:
\mathbf{v} = (-3,\,5).

Passo 3

A equação vetorial da reta com ponto de apoio P_{0}=(4,-3) e vetor direção \mathbf{v}=(-3,5) é
\mathbf{r} = \langle 4,\,-3\rangle + t\,\langle -3,\,5\rangle,\quad t\in\mathbb{R}.
Em coordenadas paramétricas isso equivale a
\begin{cases} x = 4 - 3t,\\\ y = -3 + 5t. \end{cases}

Passo 4

Para obter a equação geral, precisamos de um vetor normal \mathbf{n}=(a,b) perpendicular a \mathbf{v}=(-3,5). Basta escolher \mathbf{n}=(5,3), pois
(-3)\cdot 5 + 5\cdot 3 = 0.
A forma implícita é então
5(x-4) + 3\bigl(y-(-3)\bigr)=0
que se expande para
5x - 20 + 3y + 9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 5x + 3y - 11 = 0.

Resposta

Equação vetorial:
\mathbf{r} = \langle 4,\,-3\rangle + t\,\langle -3,\,5\rangle,\quad t\in\mathbb{R}.
Equação geral:
5x + 3y - 11 = 0.

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