Encontre as equações vetorial e geral das retas que passam pelo ponto P_{0} e possuem vetor diretor \vec{v}, respectivamente.
P_{0}=(3,4) e $\vec{v}=(1,2)

Passo 1

O enunciado pede as equações de uma reta que passa por P_{0}=(3,4) e tem vetor diretor \vec v=(1,2). O conteúdo é geometria analítica de retas no plano, e vamos usar a forma vetorial e depois converter para a forma geral (a x+b y+c =0).

Passo 2

Em geometria analítica, a equação vetorial de uma reta que passa por P_{0} com vetor diretor \vec v é
\vec r(t)=\vec{P_{0}}+t\,\vec v,\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Substituindo \vec{P_{0}}=(3,4) e \vec v=(1,2) obtemos
\vec r(t) = (3,4) + t\,(1,2).

Passo 4

Desse vetor obtemos a forma paramétrica:
\begin{cases} x=3+t,\\\ y=4+2t. \end{cases}

Passo 5

Para eliminar o parâmetro t, observamos que t=x-3. Substituindo em y
y = 4 + 2(x-3) = 2x - 6 + 4 = 2x - 2,
que em forma padrão é
2x - y - 2 = 0.

Resposta

Equação vetorial:
\vec r(t) = (3,4) + t\,(1,2),\quad t\in\mathbb{R}.
Equação geral:
2x - y - 2 = 0.

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