Encontre as equações vetorial e geral das retas que passam pelos pontos P_{0} e P_{1}, abaixo.
P_{0}=(2,-5) e P_{1}=(-5,2)

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta que passa por P_{0}=(2,-5) e P_{1}=(-5,2). Vamos usar geometria vetorial: primeiro encontramos o vetor direção pela diferença dos pontos e depois expressamos a reta em forma vetorial e, em seguida, obtemos a forma geral (implícita) usando um vetor normal.

Passo 2

O vetor direção \vec d é dado por
\vec d = P_{1} - P_{0} = (-5 - 2,\;2 - (-5)) = (-7,\;7).

Passo 3

A equação vetorial da reta, usando o ponto P_{0} e o vetor direção \vec d, é
\mathbf{r}(t) = (2,-5) + t\,(-7,7),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Para a forma geral, escolhemos um vetor normal \vec n perpendicular a \vec d. Se \vec d = (d_x,d_y), um normal é \vec n = (d_y,-d_x). Assim,
\vec n = (7,\,-(-7)) = (7,7).
A equação implícita da reta passa por P_{0} e satisfaz \vec n\cdot\bigl((x,y)-P_{0}\bigr)=0, ou seja,
7\,(x-2)+7\,(y+5)=0
que simplifica para
7x + 7y + 21 = 0
e, dividindo por 7,
x + y + 3 = 0.

Resposta

Equação vetorial:
\mathbf{r}(t) = (2,-5) + t\,(-7,7),\quad t\in\mathbb{R}.
Equação geral:
x + y + 3 = 0.

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