Encontre as equações vetorial e geral das retas que passam pelo ponto P_{0} e possuem vetor diretor \vec{v}, respectivamente.
P_{0}=(2,-5) e $\vec{v}=(-5,2)

Passo 1

O enunciado dá o ponto P_{0}=(2,-5) e o vetor diretor \vec{v}=(-5,2) de uma reta no plano. O conteúdo é geometria analítica de retas: queremos a forma vetorial (ou paramétrica) e a forma geral ax+by+c=0.

Passo 2

Para a equação vetorial, lembramos que todo ponto genérico \mathbf{r}(t) da reta pode ser escrito como
\mathbf{r}(t)=P_{0}+t\,\vec{v}.
Substituindo P_{0}=(2,-5) e \vec{v}=(-5,2), obtemos
\mathbf{r}(t)=(2,-5)+t\,(-5,2).
Em coordenadas paramétricas:
\begin{cases} x(t)=2-5t,\\\ y(t)=-5+2t. \end{cases}

Passo 3

Para passar à forma geral ax+by+c=0, precisamos de um vetor normal \vec{n} perpendicular a \vec{v}. Se \vec{v}=(-5,2), um normal é \vec{n}=(2,5) pois
\vec{n}\cdot\vec{v}=2\cdot(-5)+5\cdot2=0.
A equação geral surge de \vec{n}\cdot\bigl((x,y)-P_{0}\bigr)=0, ou seja
2\,(x-2)+5\,(y+5)=0
que se expande para
2x-4+5y+25=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x+5y+21=0.

Resposta

Equação vetorial:
\mathbf{r}(t)=(2,-5)+t\,(-5,2).
Equação geral:
2x+5y+21=0.

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