Encontre as equações vetorial e geral das retas que passam pelo ponto P_{0} e possuem vetor diretor \vec{v}, respectivamente.
P_{0}=(4,-3) e $\vec{v}=(-2,7)

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial e a equação geral da reta que passa por P_{0}=(4,-3) e tem vetor diretor \vec v=(-2,7). O conteúdo envolve representação paramétrica de reta e sua conversão em forma implícita Ax+By+C=0.

Passo 2

Escrevemos a equação vetorial da reta em função do parâmetro t. Tomando a posição de um ponto qualquer \vec r=(x,y), temos
\vec r \;=\;\begin{pmatrix}4\\\ -3\end{pmatrix} \;+\;t\begin{pmatrix}-2\\\ 7\end{pmatrix}.

Passo 3

Separando em componentes, obtemos as equações paramétricas
\begin{cases} x = 4 - 2t,\\\ y = -3 + 7t. \end{cases}
Para eliminar t, isolamos em cada uma:
t = \frac{4 - x}{2}, \quad t = \frac{y + 3}{7}.
Igualando, surge a forma simétrica
\frac{x - 4}{-2} \;=\;\frac{y + 3}{7}.

Passo 4

A partir da forma simétrica, multiplicamos em cruz para chegar à forma geral:
7(x - 4) = -2(y + 3).
Expandindo e rearranjando,
7x - 28 = -2y - 6 \quad\Longrightarrow\quad 7x + 2y - 22 = 0.

Resposta

Equação vetorial:
\vec r = \begin{pmatrix}4\\\ -3\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-2\\\ 7\end{pmatrix}.
Equação geral:
7x + 2y - 22 = 0.

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