Encontre as equações vetorial, paramétrica e geral do plano que
contém os eixos x e z.

Passo 1

O enunciado pede o plano que contém os eixos x e z. Isso é geometria analítica de planos em \mathbb{R}^3. Como esses eixos se cruzam na origem e o plano que desejamos passa por eles, podemos usar vetores diretores das retas dos eixos para gerar o plano.

Passo 2

Identificamos dois vetores paralelos ao plano:
o eixo x gera o vetor (1,0,0) e o eixo z gera o vetor (0,0,1). Esses vetores são não colineares e ambos passam pela origem, ponto que está no plano.

Passo 3

A equação vetorial do plano, tomando a origem como ponto base \vec r_0=(0,0,0), é gerada por combinações lineares desses vetores:
\vec r = s\,(1,0,0) + t\,(0,0,1),
com s,t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Da equação vetorial obtemos a forma paramétrica:
\begin{cases} x = s,\\\ y = 0,\\\ z = t, \end{cases} \quad s,t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Para a equação geral precisamos do vetor normal ao plano. Calculamos o produto vetorial
(1,0,0)\times(0,0,1) = (0,-1,0).
Esse normal leva à forma
0\cdot x + (-1)\cdot y + 0\cdot z = 0
ou simplesmente
y = 0.

Resposta

Equação vetorial:
\vec r = s\,(1,0,0) + t\,(0,0,1),\quad s,t\in\mathbb{R}.
Equação paramétrica:
\begin{cases} x = s,\\\ y = 0,\\\ z = t, \end{cases} \quad s,t\in\mathbb{R}.
Equação geral:
y = 0.

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