Verifique se as retas são paralelas, concorrentes ou reversas. As retas são ortogonais? Caso sejam concorrentes encontre o ponto de interseção e obtenha a equação de um plano que as contém. r:\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\\ y=t \\\ z=1+3 t\end{array}\right. s:\left\{\begin{array}{l}x=-1+4 t \\\ y=-1+2 t \\\ z=-2+6 t\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as retas r e s são paralelas, concorrentes ou reversas, checar se são ortogonais e, em caso de interseção, encontrar o ponto de interseção e a equação de um plano que as contenha. Vamos usar vetores diretores, colinearidade, produto escalar, resolução de sistema paramétrico e equação de plano.
Passo 2
Determinar os vetores diretores de r e s.
Para r temos
x=1+2t,\quad y=t,\quad z=1+3t
logo \vec v_r=(2,1,3).
Para s temos
x=-1+4u,\quad y=-1+2u,\quad z=-2+6u
logo \vec v_s=(4,2,6).
Passo 3
Verificar colinearidade dos vetores diretores. Observamos
\vec v_s=2\,\vec v_r,
portanto são colineares e as retas são paralelas. Ao mesmo tempo há solução comum para todos os parâmetros (como veremos adiante), de modo que elas coincidem (têm infinitos pontos em comum). Logo não são reversas (que seriam não paralelas) e não são apenas concorrentes em um ponto isolado, mas coincidentes.
Como o produto escalar é diferente de zero, as retas não são ortogonais.
Passo 5
Encontrar ponto de interseção resolvendo
1+2t=-1+4u, \quad t=-1+2u, \quad 1+3t=-2+6u.
Da segunda equação u=(t+1)/2. Substituindo nas outras, todas se reduzem a identidades, mostrando que para todo t há um u correspondente. Por exemplo, para t=0 e u=\tfrac12 obtemos o ponto
P\bigl(1,0,1\bigr)
que pertence a ambas as retas.
Passo 6
Como as retas coincidem, qualquer plano que passe pela reta serve. Para obter um exemplo, escolhemos um vetor normal \vec n ortogonal a \vec v_r, por exemplo
As retas são paralelas coincidentes, não são ortogonais, intersectam-se em toda a reta (por exemplo em P(1,0,1)) e uma equação de plano que as contém é