Encontre as equações vetorial, paramétrica e simétrica da reta que
passa pela origem e é ortogonal às retas de equação
\left\{\begin{array}{l} x=1+t \\\ y=-2-t \\\ z=\pi+2 t \end{array} \quad \frac{x-\sqrt{3}}{2}=\frac{y-2}{3}=z\right.

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa pela origem e é ortogonal a duas retas dadas.
Conteúdo: geometria analítica no espaço.
Estratégia: obter os vetores diretores das retas dadas e calcular o produto vetorial, que será o vetor diretor da reta buscada.

Passo 2

Da primeira reta, escrita em forma paramétrica
\begin{cases} x = 1 + t,\\\ y = -2 - t,\\\ z = \pi + 2t, \end{cases}
o vetor diretor é
\mathbf v_1 = (1,\,-1,\,2).
Da segunda reta, dada pela forma simétrica
\frac{x - \sqrt{3}}{2} = \frac{y - 2}{3} = z,
introduzimos parâmetro s:
x = \sqrt{3} + 2s,\quad y = 2 + 3s,\quad z = s
e obtemos
\mathbf v_2 = (2,\,3,\,1).

Passo 3

O vetor diretor \mathbf v da reta ortogonal a ambas é o produto vetorial
\mathbf v = \mathbf v_1 \times \mathbf v_2 = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 1 & -1 & 2\\\\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = (-7,\,3,\,5).

Passo 4

Como a reta passa pela origem, sua equação vetorial é
\mathbf r(t) = t\,(-7,\,3,\,5).

Passo 5

As equações paramétricas são
x = -7t,\quad y = 3t,\quad z = 5t.

Passo 6

A equação simétrica fica
\frac{x}{-7} \;=\;\frac{y}{3}\;=\;\frac{z}{5}.

Resposta

Equação vetorial:
\mathbf r(t) = t\,(-7,\,3,\,5).
Equações paramétricas:
x = -7t,\quad y = 3t,\quad z = 5t.
Equação simétrica:
\frac{x}{-7} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}.

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