Verifique se as retas são paralelas, concorrentes ou reversas. As retas são ortogonais? Caso sejam concorrentes encontre o ponto de interseção e obtenha a equação de um plano que as contém.
r:\left\{\begin{array}{l}x=2-4 t \\\ y=4+5 t \\\ z=11\end{array}\right.
s: \frac{x}{2}=\frac{y-1}{-2}=z

Passo 1

O enunciado pede para classificar as retas r e s (paralelas, concorrentes ou reversas), verificar se são ortogonais, e, se houver interseção, achar o ponto comum e a equação de um plano que as contém. O conteúdo é geometria analítica no espaço: usaremos vetores diretores, produto escalar, sistema paramétrico e produto vetorial para obter a normal de um plano.

Passo 2

Escrevemos as duas retas em forma paramétrica e identificamos seus vetores diretores.
A reta r\) já está em forma paramétrica: \[r:\quad\begin{cases} x=2-4t,\\\ y=4+5t,\\\ z=11, \end{cases}
logo seu vetor diretor é \mathbf{d}_r=(-4,5,0)\]. A reta \(s está em forma simétrica
\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-2}=z.
Tomando esse valor comum como parâmetro u, temos
x=2u,\quad y=1-2u,\quad z=u,
portanto o vetor diretor de s é \mathbf{d}_s=(2,-2,1).
Para serem paralelas bastaria \mathbf{d}_r ser múltiplo de \mathbf{d}_s, o que não ocorre, e para serem ortogonais deveríamos ter
\mathbf{d}_r\cdot\mathbf{d}_s=(-4)\cdot2+5\cdot(-2)+0\cdot1=-8-10+0=-18\neq0.
Logo não são nem paralelas nem ortogonais.

Passo 3

Procuramos interseção resolvendo
2-4t=2u,\quad 4+5t=1-2u,\quad 11=u.
Da terceira equação vem u=11. Substituindo na primeira:
2-4t=2\cdot11=22\;\Longrightarrow\;-4t=20\;\Longrightarrow\;t=-5.
Na segunda:
4+5(-5)=4-25=-21 \quad\text{e}\quad 1-2\cdot11=1-22=-21,
confirma-se a igualdade. Portanto as retas se intersectam no ponto
P=r(-5)=\bigl(2-4(-5),\,4+5(-5),\,11\bigr)=(22,-21,11).

Passo 4

Um plano que contenha r e s passa por P e tem normal dado por
\mathbf{n}=\mathbf{d}_r\times\mathbf{d}_s =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ -4&5&0\\\\ 2&-2&1 \end{vmatrix} =(5\cdot1-0\cdot(-2))\,\mathbf{i}-(-4\cdot1-0\cdot2)\,\mathbf{j}+(-4\cdot(-2)-5\cdot2)\,\mathbf{k} =(5,4,-2).
A equação do plano em P=(22,-21,11) é
5(x-22)+4(y+21)-2(z-11)=0
ou, desenvolvendo,
5x+4y-2z-4=0.

Resposta

As retas são concorrentes (intersectam-se em P=(22,-21,11)), não são paralelas nem reversas, e também não são ortogonais.
Um plano que as contém tem equação
5x+4y-2z-4=0.

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