Verifique se as retas são paralelas, concorrentes ou reversas. As retas são ortogonais? Caso sejam concorrentes encontre o ponto de interseção e obtenha a equação de um plano que as contém. r:\left\{\begin{array}{l}x=2-4 t \\\ y=4+5 t \\\ z=11\end{array}\right. s: \frac{x}{2}=\frac{y-1}{-2}=z
Passo 1
O enunciado pede para classificar as retas r e s (paralelas, concorrentes ou reversas), verificar se são ortogonais, e, se houver interseção, achar o ponto comum e a equação de um plano que as contém. O conteúdo é geometria analítica no espaço: usaremos vetores diretores, produto escalar, sistema paramétrico e produto vetorial para obter a normal de um plano.
Passo 2
Escrevemos as duas retas em forma paramétrica e identificamos seus vetores diretores.
A reta r\) já está em forma paramétrica:
\[r:\quad\begin{cases} x=2-4t,\\\ y=4+5t,\\\ z=11, \end{cases}
logo seu vetor diretor é \mathbf{d}_r=(-4,5,0)\].
A reta \(s está em forma simétrica
\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-2}=z.
Tomando esse valor comum como parâmetro u, temos
x=2u,\quad y=1-2u,\quad z=u,
portanto o vetor diretor de s é \mathbf{d}_s=(2,-2,1).
Para serem paralelas bastaria \mathbf{d}_r ser múltiplo de \mathbf{d}_s, o que não ocorre, e para serem ortogonais deveríamos ter
As retas são concorrentes (intersectam-se em P=(22,-21,11)), não são paralelas nem reversas, e também não são ortogonais.
Um plano que as contém tem equação