Obtenha os pontos da reta r de equação
r:(x, y, z)=(0,2,-2)+t(1,-1,2)
que distam \sqrt{3} do ponto A=(1,2,5).

Passo 1

O enunciado dá a reta
r: (x,y,z) = (0,2,-2) + t\,(1,-1,2)
e o ponto
A = (1,2,5).
Queremos os pontos P em r tais que a distância \|P - A\| seja \sqrt{3}. Para isso, parametrize P por t e imponha \|P(t)-A\|^2 = 3.

Passo 2

O ponto genérico em r é
P(t) = (t,\;2 - t,\;-2 + 2t).
Então
P(t) - A = (t-1,\,-t,\;2t - 7).
A condição de distância é
\|P(t)-A\|^2 = (t-1)^2 + (-t)^2 + (2t - 7)^2 = 3.

Passo 3

Calcule o quadrado da norma:
(t-1)^2 + t^2 + (2t - 7)^2 = (t^2 - 2t + 1) + t^2 + (4t^2 - 28t + 49) = 6t^2 - 30t + 50.
A condição fica
6t^2 - 30t + 50 = 3.

Passo 4

Transpondo o 3 para o lado esquerdo, obtém-se
6t^2 - 30t + 47 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-30)^2 - 4\cdot6\cdot47 = 900 - 1128 = -228 < 0.
Como \Delta<0, não há solução real para t.

Resposta

Não existem pontos reais na reta r que distem \sqrt{3} do ponto A.

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