Encontre as equações vetorial e paramétricas da reta em cada um dos itens a seguir.
A reta que passa pelos pontos A=(3,-1,2) e B=(-1,1,1).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as equações vetorial e paramétricas da reta que passa pelos pontos A=(3,-1,2) e B=(-1,1,1). O conteúdo é geometria analítica no espaço e vamos precisar de um vetor diretor obtido a partir de A e B e de uma forma de representar a reta a partir de um ponto e desse vetor.
Passo 2
Para obter o vetor diretor \mathbf{d} da reta, subtraímos as coordenadas de A de B:
\mathbf{d} = \overrightarrow{AB} = B - A = (-1-3,\;1-(-1),\;1-2) = (-4,\;2,\;-1).
Passo 3
A equação vetorial da reta usa um ponto de referência (por exemplo, A) e o vetor diretor \mathbf{d}. Definindo o parâmetro t\in\mathbb{R}, temos:
\mathbf{r}(t) = (3,-1,2) + t\,(-4,2,-1).
Passo 4
Da equação vetorial extraímos as equações paramétricas separando cada componente:
\begin{cases} x = 3 - 4t,\\\ y = -1 + 2t,\\\ z = 2 - t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.
Resposta
Equação vetorial:
\mathbf{r}(t) = (3,-1,2) + t\,(-4,2,-1).
Equações paramétricas:
x = 3 - 4t,\quad y = -1 + 2t,\quad z = 2 - t,\quad t\in\mathbb{R}.