Se uma reta é dada pelas suas equações simétricas
ache a equação vetorial.
r: \frac{x-2}{3}=\frac{y+5}{4}=\frac{z-3}{1}

Passo 1

O enunciado nos dá a reta em forma simétrica
\frac{x-2}{3}=\frac{y+5}{4}=\frac{z-3}{1}
e pede a forma vetorial. A ideia é igualar essas três frações a um parâmetro, digamos \lambda.

Passo 2

Definimos
\frac{x-2}{3}=\frac{y+5}{4}=\frac{z-3}{1}=\lambda.
Aí, basta isolar cada coordenada:
x = 2 + 3\lambda,\quad y = -5 + 4\lambda,\quad z = 3 + 1\lambda.

Passo 3

Escrevendo essas três equações em forma de vetor posição, temos
\begin{pmatrix} x\\[4pt] y\\[4pt] z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\\\ -5\\\\ 3 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 3\\\\ 4\\\\ 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Para ficar no padrão usual, renomeamos \lambda por t. A forma vetorial final é
\mathbf{r}(t)= \begin{pmatrix} 2\\\\ -5\\\\ 3 \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} 3\\\\ 4\\\\ 1 \end{pmatrix}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{r}(t)=(2,\,-5,\,3)+t\,(3,\,4,\,1)

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