Resolva os seguintes PVI’s usando Transformada de Laplace
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}+y=e^{t} \\\ y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

No enunciado temos o PVI
y'(t) + y(t) = e^t,\quad y(0)=1.
Vamos resolver usando transformada de Laplace, lembrando que para uma função y(t) com transformada Y(s) vale \mathcal{L}\{y'\} = s\,Y(s) - y(0) e \mathcal{L}\{e^t\} = \frac{1}{s-1}.

Passo 2

Aplicamos \mathcal{L}$ em ambos os lados de \(y'(t) + y(t) = e^t. Obtemos
\mathcal{L}\{y'\} + \mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{e^t\}.
Substituindo as fórmulas:
s\,Y(s) - y(0) + Y(s) = \frac{1}{s-1}.
Como y(0)=1, isso vira
(s+1)\,Y(s) - 1 = \frac{1}{s-1}.)

Passo 3

Isolamos Y(s):
(s+1)\,Y(s) = 1 + \frac{1}{s-1},
Y(s) = \frac{1}{s+1} + \frac{1}{(s-1)(s+1)}.
Fazemos frações parciais em \frac{1}{(s-1)(s+1)}. Supondo
\frac{1}{(s-1)(s+1)} = \frac{A}{s-1} + \frac{B}{s+1},
temos A+B=0 e A-B=1, logo A=\tfrac12, B=-\tfrac12. Então
Y(s) = \frac{1}{s+1} + \frac{\tfrac12}{s-1} - \frac{\tfrac12}{s+1} = \frac{\tfrac12}{s-1} + \frac{\tfrac12}{s+1}.

Passo 4

Aplicamos a transformada inversa sabendo que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-1}\} = e^t e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+1}\} = e^{-t}. Assim,
y(t) = \tfrac12\,e^t + \tfrac12\,e^{-t} = \operatorname{cosh}(t).

Resposta

y(t) = \tfrac12\bigl(e^t + e^{-t}\bigr).

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