Resolva os seguintes PVI’s usando Transformada de Laplace
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}+3 y=e^{-2 t} \\\ y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI usando Transformada de Laplace na equação \displaystyle y'+3y=e^{-2t} com y(0)=1. Vamos usar as propriedades \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0), \mathcal{L}\{y\}=Y(s) e \mathcal{L}\{e^{-2t}\}=\frac1{s+2}.

Passo 2

Aplicando \mathcal{L} em ambos os lados e chamando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, temos
sY(s)-1+3Y(s)=\frac1{s+2}.

Passo 3

Agrupando Y(s):
(s+3)Y(s)-1=\frac1{s+2} \quad\Longrightarrow\quad (s+3)Y(s)=1+\frac1{s+2} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac1{s+3}+\frac1{(s+3)(s+2)}.

Passo 4

Fazendo frações parciais em \displaystyle \frac1{(s+3)(s+2)}, buscamos A,B tais que
\frac1{(s+3)(s+2)}=\frac{A}{s+2}+\frac{B}{s+3}.
Isso dá A=1, B=-1. Logo
Y(s)=\frac1{s+3}+\Bigl(\frac1{s+2}-\frac1{s+3}\Bigr)=\frac1{s+2}.

Passo 5

Invertendo a transformada com \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{s+2}\}=e^{-2t}, concluímos
y(t)=e^{-2t}.

Resposta

y(t)=e^{-2t}

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