Encontre e esboce os conjuntos de nível dos seguintes campos escalares.
nível
nível
Passo 1
O enunciado pede o conjunto de nível de ordem
do campo escalar
Em outras palavras, queremos caracterizar geometricamente o conjunto
e em seguida esboçá-lo. Para isso vamos usar a teoria de formas quadráticas positivas definidas, cujo nível constante
gera elipses.
Passo 2
Impondo
temos
Para reconhecer o tipo de curva, dividimos ambos os lados por 1:
Isso é exatamente a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos de comprimento
Passo 3
Para esboçar a elipse basta marcar os pontos extremos em que ela intercepta os eixos coordenados:
Em seguida desenhe uma curva suave ligando esses quatro pontos de modo simétrico em relação aos dois eixos.
Resposta
O conjunto de nível
é a elipse
com semi-eixos
(horizontal) e
(vertical). Visando o esboço, ela intercepta os eixos nos pontos
e
.