Encontre e esboce os conjuntos de nível dos seguintes campos escalares.
f: R^2 R, f(x, y)=x^2+4 y^2 (
nível k=1)

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de nível de ordem k=1 do campo escalar
fcolon R^2toR, f(x,y)=x^2+4y^2
Em outras palavras, queremos caracterizar geometricamente o conjunto
(x,y)inR^2mid f(x,y)=1,
e em seguida esboçá-lo. Para isso vamos usar a teoria de formas quadráticas positivas definidas, cujo nível constante c>0 gera elipses.

Passo 2

Impondo f(x,y)=1 temos
x^2+4y^2=1
Para reconhecer o tipo de curva, dividimos ambos os lados por 1:
x^21+4y^21=1 Longrightarrow x^21+y^2tfrac14=1
Isso é exatamente a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos de comprimento
a=1(eixo horizontal), b=12(eixo vertical)

Passo 3

Para esboçar a elipse basta marcar os pontos extremos em que ela intercepta os eixos coordenados:
x=pm 1,;y=0 e x=0,;y=pm tfrac12
Em seguida desenhe uma curva suave ligando esses quatro pontos de modo simétrico em relação aos dois eixos.

Resposta

O conjunto de nível f(x,y)=1 é a elipse
x^21+y^2tfrac14=1,
com semi-eixos a=1 (horizontal) e b=tfrac12 (vertical). Visando o esboço, ela intercepta os eixos nos pontos (pm1,0) e l(0,pmtfrac12r).

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