Encontre e esboce os conjuntos de nível dos seguintes campos escalares.
f: R^2 R, f(x, y)=x^3-y (níveis k=-1 e 0 )

Passo 1

O enunciado dá o campo escalar
f(x,y)=x^3-y
e pede os conjuntos de nível para k=-1 e k=0. Para resolver isso, vamos usar a definição de conjunto de nível:
(x,y)inR^2mid f(x,y)=k
Em seguida, reescrevemos f(x,y)=k de forma explícita em y e traçamos o gráfico resultante como curvas no plano.

Passo 2

Para um nível genérico k, a condição f(x,y)=k
x^3-y=k
que é equivalente a
y = x^3-k

Passo 3

No caso k=0, substituindo em y = x^3-k obtemos
y = x^3,
Essa é a curva cúbica padrão que passa pela origem, cresce para cima quando x>0 e decresce para baixo quando x<0.

Passo 4

No caso k=-1, substituindo em y = x^3-k obtemos
y = x^3+1,
É a mesma cúbica de y=x^3, só que deslocada uma unidade para cima.

Passo 5

Para esboçar, desenhe no mesmo sistema de eixos:
  • A curva y=x^3, que cruza a origem.
  • A curva y=x^3+1, idêntica mas deslocada verticalmente para cima de modo que em x=0 ela valha 1.

Resposta

Para k=0:
y = x^3
Para k=-1:
y = x^3 + 1

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