Encontre e esboce o gráfico dos seguintes campos escalares.
.
Passo 1
O enunciado pede o gráfico da função de duas variáveis
ou seja, queremos representar no espaço
a superfície dada por
. O conteúdo aqui é o estudo de superfícies no
e suas curvas de nível.
Passo 2
Definimos o conjunto gráfico como
Para cada par
o ponto na superfície tem altura
igual à soma dos quadrados das coordenadas.
Passo 3
Vendo as curvas de nível (alturas constantes) temos
que são circunferências de raio
no plano
. Isso mostra que a superfície é circularmente simétrica em torno do eixo
.
Passo 4
Analisando seções planas:
- Para
obtemos , uma parábola no plano . - Para
obtemos , outra parábola no plano .
Essas parábolas, girando em torno do eixo, geram um paraboloide de revolução.
Passo 5
Para esboçar:
- No plano
faça círculos concentricos de raios para . - Em seguida, levante cada circunferência até a altura
. - Juntando todos os “níveis” obtemos uma taça ou tigela suave — o paraboloide.
Resposta
O gráfico de
é um paraboloide circular de revolução voltado para cima, com vértice em
. As curvas de nível no plano
são círculos de raio
correspondendo à altura
.