Encontre e esboce o gráfico dos seguintes campos escalares.
f: R^2 R, f(x, y)=x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o gráfico da função de duas variáveis
fcolon R^2toR, f(x,y)=x^2+y^2
ou seja, queremos representar no espaço (x,y,z) a superfície dada por z=f(x,y). O conteúdo aqui é o estudo de superfícies no R^3 e suas curvas de nível.

Passo 2

Definimos o conjunto gráfico como
S=l(x,y,z)inR^3mid z=x^2+y^2r
Para cada par (x,y) o ponto na superfície tem altura z igual à soma dos quadrados das coordenadas.

Passo 3

Vendo as curvas de nível (alturas constantes) temos
f(x,y)=c Longrightarrow x^2+y^2=c,
que são circunferências de raio raizc no plano xy. Isso mostra que a superfície é circularmente simétrica em torno do eixo z.

Passo 4

Analisando seções planas:
  1. Para y=0 obtemos z=x^2, uma parábola no plano xz.
  2. Para x=0 obtemos z=y^2, outra parábola no plano yz.
    Essas parábolas, girando em torno do eixo z, geram um paraboloide de revolução.

Passo 5

Para esboçar:
  • No plano xy faça círculos concentricos de raios raizc para c=0,1,2,dots.
  • Em seguida, levante cada circunferência até a altura z=c.
  • Juntando todos os “níveis” obtemos uma taça ou tigela suave — o paraboloide.

Resposta

O gráfico de f(x,y)=x^2+y^2 é um paraboloide circular de revolução voltado para cima, com vértice em (0,0,0). As curvas de nível no plano xy são círculos de raio raizc correspondendo à altura z=c.

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