Encontre e esboce o gráfico dos seguintes campos escalares.
.
Passo 1
O enunciado define o campo escalar
e pede o seu gráfico em
. Para desenhar essa superfície, vamos explorar três coisas: (1) seções por planos
, (2) seções por planos
e (3) curvas de nível
. Também vamos comentar simetrias e comportamento para
.
Passo 2
Seção em
fixo. Nesse plano vertical
temos
Isto é uma reta no plano
passando pela origem e com inclinação
. Para cada
, essa reta é mais “plana” quanto maior for
, pois
decresce.
Passo 3
Seção em
fixo. Nesse plano vertical
temos
Isso é a curva típica de “campânula” de função racional: atinge
em
e decai para
quando
. Para
é uma crista positiva, para
é análoga negativa.
Passo 4
Curvas de nível
. Resolvendo
Cada curva de nível é uma parábola no plano
com vértice em
. Se
, abre para cima; se
, abre para baixo; se
, é o eixo
.
Passo 5
Simetrias e comportamento assintótico:
Além disso, para
,
ou seja, a superfície se aproxima do plano
longe do eixo
.
Passo 6
Esboço qualitativo:
- No plano
, desenhe a curva . - No plano
, a curva . - Em
, as seções são retas . - À medida que
cresce, essas retas ficam cada vez mais “planas” (menor inclinação). - As curvas de nível no plano
são parábolas .
O resultado é uma superfície “ondulada” que cresce linearmente empróximo a e decai para quando aumenta.
Resposta
O gráfico é a superfície
que em cada plano
é uma reta de inclinação
, em cada plano
é a curva racional
, e cujas curvas de nível são parábolas
.