Encontre e esboce o gráfico dos seguintes campos escalares.
f: R^2 R, f(x, y)=y1+x^2.

Passo 1

O enunciado define o campo escalar
fcolon R^2 to R, f(x,y)=y1+x^2,
e pede o seu gráfico em R^3. Para desenhar essa superfície, vamos explorar três coisas: (1) seções por planos x=constante, (2) seções por planos y=constante e (3) curvas de nível f(x,y)=c. Também vamos comentar simetrias e comportamento para lvert xrverttoinfty.

Passo 2

Seção em x=a fixo. Nesse plano vertical x=a temos
z = f(a,y) = y1+a^2
Isto é uma reta no plano (y,z) passando pela origem e com inclinação 1/(1+a^2). Para cada a, essa reta é mais “plana” quanto maior for lvert arvert, pois 1/(1+a^2) decresce.

Passo 3

Seção em y=b fixo. Nesse plano vertical y=b temos
z = f(x,b) = b1+x^2
Isso é a curva típica de “campânula” de função racional: atinge z=b em x=0 e decai para zto0 quando lvert xrverttoinfty. Para b>0 é uma crista positiva, para b<0 é análoga negativa.

Passo 4

Curvas de nível f(x,y)=c. Resolvendo
y1+x^2=c Longrightarrow y = c,(1+x^2)
Cada curva de nível é uma parábola no plano xy com vértice em (0,c). Se c>0, abre para cima; se c<0, abre para baixo; se c=0, é o eixo x.

Passo 5

Simetrias e comportamento assintótico:
f(-x,y)=f(x,y)(par em x), f(x,-y)=-f(x,y)(ímpar em y) í
Além disso, para lvert xrverttoinfty,
f(x,y)=y1+x^2longrightarrow0,
ou seja, a superfície se aproxima do plano z=0 longe do eixo y.

Passo 6

Esboço qualitativo:
  1. No plano y=1, desenhe a curva z=1/(1+x^2).
  2. No plano y=-1, a curva z=-1/(1+x^2).
  3. Em x=0, as seções são retas z=y.
  4. À medida que lvert xrvert cresce, essas retas ficam cada vez mais “planas” (menor inclinação).
  5. As curvas de nível no plano xy são parábolas y=c(1+x^2).
    O resultado é uma superfície “ondulada” que cresce linearmente em y próximo a x=0 e decai para z=0 quando lvert xrvert aumenta.

Resposta

O gráfico é a superfície
z=y1+x^2,
que em cada plano x=a é uma reta de inclinação 1/(1+a^2), em cada plano y=b é a curva racional b/(1+x^2), e cujas curvas de nível são parábolas y=c(1+x^2).

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