Resolva as seguintes inequações:
(x-3)(x^2+5 x+6) <= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
(x-3)l(x^2+5x+6r)<= 0
O conteúdo aqui é estudo de sinal de um produto de fatores lineares. Vamos precisar fatorar o polinômio quadrático e depois fazer o diagrama de sinais dos fatores.

Passo 2

Fatoramos o polinômio x^2+5x+6:
x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)
Logo a inequação fica
(x-3)(x+2)(x+3)<= 0

Passo 3

Identificamos os pontos em que cada fator se anula, pois são os candidatos a mudar o sinal do produto:
x-3=0implies x=3, x+2=0implies x=-2, x+3=0implies x=-3
Eles particionam a reta real nos intervalos
(-infty,-3),;(-3,-2),;(-2,3),;(3,infty)

Passo 4

Analisamos o sinal de cada fator em cada intervalo e nos pontos críticos:
Intervalo (-∞,-3):
Para x< -3 temos
x-3<0, x+2<0, x+3<0
Produto de três fatores negativos é negativo. Como queremos <=0, todo (-∞,-3) satisfaz.
Em x=-3 um dos fatores é zero, então o produto vale zero e satisfaz <=0.
Intervalo (-3,-2):
Para -3<x< -2
x-3<0, x+2<0, x+3>0
Dois fatores negativos e um positivo dão produto positivo. Não satisfaz.
Em x=-2 o produto vale zero, satisfaz.
Intervalo (-2,3):
Para -2<x<3
x-3<0, x+2>0, x+3>0
Um fator negativo e dois positivos dão produto negativo. Satisfaz.
Em x=3 o produto vale zero, satisfaz.
Intervalo (3,infty):
Para x>3
x-3>0, x+2>0, x+3>0
Todos os fatores positivos dão produto positivo. Não satisfaz.

Resposta

(-infty,-3];cup;[-2,3]

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