Encontre e esboce o gráfico dos seguintes campos escalares.
.
Passo 1
O enunciado pede para “encontrar e esboçar” o gráfico do campo escalar
O conteúdo é estudo de superfícies definidas por quadricas em cálculo multivariável. Para esboçar, vamos usar (1) classificação da superfície, (2) seções transversais principais e (3) curvas de nível.
Passo 2
Escrevendo
, temos
Comparando com a forma geral das quadricas, esta é a equação de um paraboloide hiperbólico (também chamado de “sela”), pois em direções diferentes em
e
o sinal da curvatura é oposto.
Passo 3
Analisar as seções para planos coordenados:
- Para
,
ou seja, uma parábola aberta para cima no plano
.
- Para
,
uma parábola aberta para baixo no plano
.
No ponto elas se cruzam formando a “sela”.
No ponto
Passo 4
Estender a análise a seções genéricas:
- Plano
fixo dá
uma família de parábolas em
todas deslocadas para baixo em
.
- Plano
fixo dá
família de parábolas em
deslocadas para cima em
.
Passo 5
Curvas de nível (no plano
) são dadas por
Isso é um conjunto de hipérboles:
- se
, ramos abrem ao longo do eixo ; - se
, ramos abrem ao longo do eixo ; - se
, temos as retas .
Passo 6
Esboço final da superfície:
- No eixo
, o “vale” sobe como parábola para cima; - No eixo
, o “vale” desce como parábola para baixo; - Entre esses eixos forma-se a crista de sela.
Uma maneira de desenhar é primeiro traçar as parábolas nos planos
e
, depois indicar algumas hipérboles de nível no chão (plano
) e “erguer” a sela nesses contornos.
Resposta
O gráfico de
é um paraboloide hiperbólico (superfície de sela), cujas seções em
e
são, respectivamente, as parábolas
e
, e cujas curvas de nível
são hipérboles no plano
.