Encontre e esboce o gráfico dos seguintes campos escalares.
f: R^2 R, f(x, y)=x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede para “encontrar e esboçar” o gráfico do campo escalar
fcolon R^2toR, f(x,y)=x^2-y^2
O conteúdo é estudo de superfícies definidas por quadricas em cálculo multivariável. Para esboçar, vamos usar (1) classificação da superfície, (2) seções transversais principais e (3) curvas de nível.

Passo 2

Escrevendo z=f(x,y), temos
z = x^2 - y^2
Comparando com a forma geral das quadricas, esta é a equação de um paraboloide hiperbólico (também chamado de “sela”), pois em direções diferentes em x e y o sinal da curvatura é oposto.

Passo 3

Analisar as seções para planos coordenados:
  • Para y=0,
z = x^2,
ou seja, uma parábola aberta para cima no plano xz.
  • Para x=0,
z = -,y^2,
uma parábola aberta para baixo no plano yz.
No ponto (0,0,0) elas se cruzam formando a “sela”.

Passo 4

Estender a análise a seções genéricas:
  • Plano y=k fixo dá
z = x^2 - k^2,
uma família de parábolas em x todas deslocadas para baixo em k^2.
  • Plano x=k fixo dá
z = k^2 - y^2,
família de parábolas em y deslocadas para cima em k^2.

Passo 5

Curvas de nível (no plano xy) são dadas por
x^2 - y^2 = c, cinR
Isso é um conjunto de hipérboles:
  • se c>0, ramos abrem ao longo do eixo x;
  • se c<0, ramos abrem ao longo do eixo y;
  • se c=0, temos as retas y=pm x.

Passo 6

Esboço final da superfície:
  • No eixo x, o “vale” sobe como parábola para cima;
  • No eixo y, o “vale” desce como parábola para baixo;
  • Entre esses eixos forma-se a crista de sela.
Uma maneira de desenhar é primeiro traçar as parábolas nos planos y=0 e x=0, depois indicar algumas hipérboles de nível no chão (plano xy) e “erguer” a sela nesses contornos.

Resposta

O gráfico de f(x,y)=x^2-y^2 é um paraboloide hiperbólico (superfície de sela), cujas seções em y=0 e x=0 são, respectivamente, as parábolas z=x^2 e z=-y^2, e cujas curvas de nível x^2-y^2=c são hipérboles no plano xy.

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