Encontre um escalar k tal que u e v sejam ortogonais, nos casos seguintes.
(a) u=(3, k,-2), v=(6,-4,-3);
(b) u=(5, k,-4,2), v=(1,-3,2,2 k);
(c) u=(1,7, k+2,-2), v=(3, k,-3, k).

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor do escalar k de modo que dois vetores u e v sejam ortogonais. O conteúdo aqui é produto escalar e ortogonalidade: dois vetores são ortogonais quando
ucdot v = 0

Passo 2

Caso (a): os vetores são u=(3,k,-2) e v=(6,-4,-3). Calculamos
ucdot v = 3cdot6 + kcdot(-4) + (-2)cdot(-3) = 18 - 4k + 6
Impondo ortogonalidade,
18 - 4k + 6 = 0 Longrightarrow 24 - 4k = 0 Longrightarrow k = 6

Passo 3

Caso (b): os vetores são u=(5,k,-4,2) e v=(1,-3,2,2k). Calculamos
ucdot v = 5cdot1 + kcdot(-3) + (-4)cdot2 + 2cdot(2k) = 5 - 3k - 8 + 4k = -3 + k
Impondo ortogonalidade,
-3 + k = 0 Longrightarrow k = 3

Passo 4

Caso (c): os vetores são u=(1,7,k+2,-2) e v=(3,k,-3,k). Calculamos
ucdot v = 1cdot3 + 7cdot k + (k+2)cdot(-3) + (-2)cdot k = 3 + 7k - 3k - 6 - 2k = -3 + 2k
Impondo ortogonalidade,
-3 + 2k = 0 Longrightarrow 2k = 3 Longrightarrow k = 32

Resposta

(a) k=6
(b) k=3
(c) k=tfrac32

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